x的范围．请在图②的数轴上表示x1＜2的解集，并写出这个解集．
探究二：探究
的几何意义
（1）探究
的几何意义
如图③，在直角坐标系中，设点M的坐标为（x，y），过M作MP⊥x轴于P，作MQ⊥y轴于Q，则P点坐标为（x，0），Q点坐标为（0，y），OPx，OQy，
在Rt△OPM中，PMOQy，则MO


，因
此，
的几何意义可以理解为点M（x，y）与点O（0，0）之间的距离
MO．（2）探究
的几何意义
如图④，在直角坐标系中，设点A′的坐标为（x1，y5），由探究二（1）可
知，A′O
，将线段A′O先向右平移1个单位，再向上平移5
个单位，得到线段AB，此时点A的坐标为（x，y），点B的坐标为（1，5），因
为ABA′O，所以AB
，因此
的几何意义可
以理解为点A（x，y）与点B（1，5）之间的距离AB．
（3）探究
的几何意义
请仿照探究二（2）的方法，在图⑤中画出图形，并写出探究过程．
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f（4）
的几何意义可以理解为：点（x，y）与点（a，b）之
间的距离．拓展应用：
（1）

的几何意义可以理解为：点A（x，y）
与点E（2，1）的距离和点A（x，y）与点F（1，5）（填写坐标）的距离之和．
（2）

的最小值为5（直接写出结果）
【分析】探究一（3）由于x1表示数轴上x所对应的点与1所对应的点之间的距离，所以求不等式解集就转化为求这个距离小于2的点对应的数x的范围，从而画出数轴即可．
探究二（3）由于
的几何意义是：点A（x，y）与B（3，4）
之间的距离，所以构造直角三角形利用勾股定理即可得出答案．
（4）根据前面的探究可知
的几何意义是表示点（x，y）与点
（a，b）之间的距离；拓展应用（1）根据探究二（4）可知点F的坐标；（2）根据三角形的三边关系即可求出答案．【解答】解：探究一：（3）如图所示，∴x1＜2的解集是1＜x＜3，
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f探究二：（3）如图⑤，在直角坐标系中，设点A′的坐标为（x3，y4），由探
究二（1）可知，A′O
，将线段A′O先向左平移3个单位，再
向上平移4个单位，得到线段AB，此时点A的坐标为（x，y），点B的坐标为
（3，4），因为ABA′O，所以AB
，因此
的几何意义可以理解为点A（x，y）与点B（3，4）之间的距离AB．
（4）根据前面的探究可知（a，b）之间的距离；
的几何意义是表示点（x，y）与点
拓展应用：（1）由探究二（4）可知
表示点（x，y）与（1，
5）之间的距离，故F（1，5），
（2）由（1）可知：

表示点A（x，y）与点
E（2，1r