第六讲
基本图形与几何问题的计算与证明
平面几何主要研究的是平面图形的形状、大小和相互的位置关系基本图形：指的是学习中的重要定义、公理、定理、推论等所对应的图形每一个重要的基本图形常常具有相应的综合性，对应多个重要的知识点，掌握基本图形有利于添加辅助线构造基本图形，有利于探求思路拓宽条件．例1己知：如图，AB⊥AE于点A，∠AED120°，∠EDC30°，求证：AB∥CD
解法1：如图1延长AE与CD相交于F．∵AB⊥AE于A，∴∠BAE90°∵∠AED∠EFD∠D，∠AED120°，∠D30°∵∠EFD90°∴∠A∠EFD180°∴AB∥CD同旁内角互补，两直线平行解法2：又如图2延长BA、DE交于F．∵AB⊥AE于A∴∠FAE90°∠AED∠FAE∠F又∠AED120°
f∴∠F30°∵∠D30°∴∠D∠F∴AB∥CD内错角相等，两直线平行我们还可以这样来做：解法3：作直线MN，分别与B交于A，与DC交于N．同1可证∠MAB∠END，∴AB∥CD同位角相等两直线平行例2己知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，过D作直线DE平行于AC，又过B作直线BE平行于AD，两直线交于E，连结EC．求证：S△DCES△CAB．证明：连结BD、AE∵AC∥DE，∴S△DECS△DEA．∵AD∥BE，∴S△DAES△DAB∵DC∥AB，∴S△DABS△CAB．∴S△DCES△CAB这个图形的两条直线平行，由于平行线间的距离相等，所以在平行线中等底上所加的三角形的面积，一定是相等的．这个基本图形能帮助我们解决比较难以找到的等积形式．它对我们今后学习解决面积问题有极大的帮助，希望同学们注意．例3在△ABC中，BE、CF分别是∠ABC，∠ACB的平分线，AG⊥BE于G，AH⊥ICF于H，求证HG∥BC．
f分析：两条直线的位置关系：两条直线在同一平面内，有相交与平行两种，相交中的特例：当交角是90°时，两直线垂直．不相交则平行．题目中给了两个重要条件，一个是角平分线，一个是垂直．当一个角被平分以后，有一条直线与角平分线垂直，这就形成了一个基本图形，也就是等腰三角形三线合一的基本图形．根据三角形中位线定理：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半，因此可以得到HG∥MN．也就是HG∥BC证明：延长AH、AG分别与BC交于M、N．∵BE平分∠ABC，AG⊥BE于G∴△ABG≌△NBG．则AGGN同理，AHHM．∴HG是△AMN的中位线．∴HG∥MN，即HG∥BC．例4已知：如图，在△ABC中，ACBC，∠ACB90°，AD平分∠CAB，BD⊥AD于D交BC于E．求证：AE2DB．证明：延长AC、BD交于F．∵AD平分∠CAB，∴∠1∠2．∴AD⊥BD于D，∴∠FDA∠BDA90°．又ADAD，∴△ADF≌△ADBASA．∴BDDF，r