重点难点一元二次方程一、二项方程形如
基本解法化为例1．在复数集中解下列方程
复数与方程
a0a
∈Ca
≠0
∈N的方程的形成，利用复数开方求出它的根。
解1法1、求方程∵
的解，即求复数
的4次方根，
∴其4次方根为∴原方程的解为下面4个复数
k0123
法2、求方程
∵由
知1i为
的解，即求复数
的4次方根。
的一个4次方根，
∴由复数的
次方根的几何意义有
的其余三个4次方根分别为
∴方程
的解分别为1i1i1i1i。
解2令
∴

∴
解之有
注解二项方程实质就是求一复数的
∴原方程的根为2i或2i。次方根，所以要注意一复数Z的
求法一
，则可用公式
1
次方根的几种基本
fk012……
1
求其
个
次方根
。如例1解法1，此
个复数的几何意义是复平面上
个点，这
个点均匀分
布在以原点为圆心，以为半径的圆上，组成一个正
边形。二若能由已知中找出个Z的
次方根Z0，则可由
次方根的几何意义求其余
1个
个次根如下

。如例1解
法2。三若Z的辐角非特殊值，不好转化为三角形式或也不好看出Z的
次方根时，则可以考虑用
次方根的
定义利用代数形式及复数相等直接求。如例2。
二、一元二次方程1abc∈R时基本解法
时，两不等实根可由求根公式时，两相等实根。可由上面公式求出，
求出，
时，两互为其轭虚根，可由求根公式2abc∈C时基本解法
判别式定理不成立，所以不能由此判别根的情况。但可由求根公式
根
另韦达定理仍成立。
例2．在复数集中解方程
。
求出。另韦达定理仍成立。δ是b24ac的一个平方
解∵
，∴

，
∴原方程的根为
。
注∵x1x2x1x31∴x2x10的根也是x31的根，即1的两个立方虚根。
记
则
，其有如下特征
①
；②
；③
；
2
f④
；⑤
要注意此特征，并能灵活运用其解决有关问题。例3．在复数集中解方程①2x26ix60；②x253ix47i0。
解①∵
其平方根为
，
∴原方程根为∵
，；其平方根为1i或1i，
∴原方程的根为
，即32i或2i。
注在例3①中Δ0，但有两虚根，可见判别式定理对于复系数的一元二次方程来谈已不成立。要注意不要轻易由Δ的正负情况给根下结论。
三、含
的方程
基本解法：1．令Zxyixy∈R，由复数相等转化为实数方程来解决。2．若由①困难，则看是否能求出Z，然后代回去再解。
例4．令
解方程
解令Zxyixy∈R，则原方程化为
即
，
∴由复数相等的条件有
解之有x0y3x4y3是增根，舍去）∴原方程的解是3ir