§263
指数函数的性质应用（二）
教学目标1掌握指数形式的复合函数的单调性的证明方法。2掌握指数形式的复合函数的奇偶性的证明方法。3培养学生的数学应用意识。教学重点函数单调性、奇偶性的证明通法教学难点指数函数的性质应用教学方法引导式教具准备投影片2张（例5，例6）教学过程（I）复习回顾师：上一节，我们一起学习了指数函数的性质应用，这一节，我们学习指数形式的复合函数的单调性、奇偶性的证明方法。首先，大家来回顾一下第二章第一单元所学的证明函数单调性、奇偶性的基本步骤。1判断及证明函数单调性的基本步骤：假设→作差→变形→判断说明：变形目的是为了易于判断；判断有两层含义：一是对差式正负的判断；二是对增减函数定义的判断。2判断及证明函数奇偶性的基本步骤：（1）考查函数定义域是否关于原点对称；（2）比较（x）与（x）或者（x）的关系；（3）根据函数奇偶性定义得出结论。说明：考查函数定义域容易被学生忽略，应强调学生注意。师：接下来，大家来看例题。（II）讲授新课ax1例5：当a1时，证明函数fx是奇函数。
ax1
分析：此题证明的结构仍是函数奇偶性的证明，但在证明过程中的恒等变形用到推广的实数指数幂运算性质。证明：由ax1≠0得，x≠0故函数定义域xx≠0关于原点对称。
ax1ax1ax1ax又fxxa1ax1ax1axax1ax1∴fxfxfx
f所以，函数
ax1fxxa1
x
是奇函数。
例6：设a是实数，fxa
2x∈R21
（1）试证明对于任意a（x）为增函数；（2）试确定a值，使（x）为奇函数。分析：此题虽形式较为复杂，但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明。还应要求学生注意不同题型的解答方法。（1）证明：设x1x2∈R且x1x222则
fx1fx2a22x21
2x11
a
2x21

222x12x2x2x12112x21
由于指数函数y2x在R上是增函数且x1x2所以2x12x2即2x12x20又由2x0得2x1102x210所以（x1）（x2）0即（x1）（x2）因为此结论与a取值无关，所以对于a取任意实数，（x）为增函数。评述：上述证明过程中，在对差式正负判断时，利用了指数函数的值域及单调性。（2）解：若（x）为奇函数，则（x）（x）即
22ax212122x222x1变形得：ax2212x2x12x1a
x
解得：a1所以当a1时（x）为奇函数。评述：此r