线性代数练习册
班级姓名学号任课教师
51（向量的内积及矩阵的特征值与特征向量）矩阵的特征值与特征向量习题51（向量的内积及矩阵的特征值与特征向量）
一、用施密特法把向量组α1111Tα2123Tα3149T规范正交化分析：分析：定义1设有两个
维向量αa1a2La
，βb1b2Lb
定义α与β的内积αβa1b1a2b2La
b
αβTβαT内积为内积长度（或称范数范数）为定义2设αa1a2La
，定义α的长度长度范数
22αααa12a2La

当α1时，称α为单位向量单位向量单位向量对任意α≠0，
α为单位向量α
将一个线性无关向量组a1a2Lam规范正交化，斯密特（Schimidt）规范正交化的方法如下：1正交化：取β1α1，β2α2正交化：正交化
α2β1αβαββ1，β3α331β132β2，……β1β1β1β1β2β2
2单位化：取e1
β1ββe22Lemmβ1β2βm
则e1e2Lem为规范正交组，并且与a1a2Lam等价正交化：解：根据施密特规范正交化方法，1正交化：令根据施密特规范正交化方法，正交化规范正交化方法
1111β1α2β211121310，β1α11，β2α2β1β113121212111
βαβα1β3α313β123β223β1β1β2β21

1
β12单位化：令η11单位化：单位化β1121212
111111
33，3
1
f线性代数练习册
班级姓名学号任课教师
112ββ21100，η33η22222β2β3101122121121规范正交化后得正交化后得：故规范正交化后得：η1η2η31131331033626．161
116226116
二、下列矩阵是不是正交矩阵？并说明理由。
1（1）1213

12
112
131；21
19（2）8949
891949
494979
分析：正交向量组。分析：定义4若向量组a1a2Lam两两正交，则称其为正交向r