解法：该类型较类型3要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以
引入辅助数列
（其中
），得：
再应用类型3的方法解决。
例1已知数列
中，
，求
。
例2已知数列
中，
，求
。
类型5。fS
a
0型的
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f利用a
S
S
1
2转化为ga
a
10型，或hS
S
10型即混合型的转化为纯粹型的例题1．已知数列a
的前
项和S
满足S
2a
1
1

Ⅰ写出数列a
的前3项a1a2a3Ⅱ求数列a
的通项公式分析：S
2a
1
1①

由a1S12a11得a11②由
2得，a1a22a21，得a20③由
3得，a1a2a32a31，得a32④用
1代
得S
12a
11
1
⑤

①⑤：a
S
S
12a
2a
121

即a
2a
121⑥
a
2a
121
22a
221
121
22a
2221
121



2
1a12
112
21221

2
221
1⑦3
2例题2。数列a
的前
项和记为S
，已知a11a
1S
123证明：
数列


S
（全国卷（二）理科19题）是等比数列；

方法1∵a
1S
1S
a
1∴
2S
S
1S

2S

整理得

S
12
1S

所以
S
1S2
1

故
S
是以2为公比的等比数列

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f方法2：事实上，我们也可以转化为
S
2
，为一个商型的递推关系，S
1
1
由s

s
s
1s
1
222s12
1a1
a12
1s
1s
2s1
1
2
31
1．a
｝是正数组成的数列，前
项和为S
，对所有的
，a
与2的等差中项等于S
与2｛的等比中项（1）写出｛a
｝的前三项；（2）求｛a
｝的通项。2．在数列｛a
｝中，已知S
32a
，求a
3．已知数列a
的前
和S
满足log2S
1
1求此数列的通项公式。
a
4
4
4．已知数列（1）求
前
项和与
。。
的关系；（2）求通项公式
5．（北京卷数列a
的前
项和为S
，且a11a
1（Ⅰ）a2a3a4的值及数列a
r