2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准
说明评阅试卷时请依据本评分标准第一试选择题和填空题只设7分和0分两档第二试各题请按照本评分标准规定的评分档次给分如果考生的解答方法和本解答不同只要思路合理步骤正确在评卷时请参照本评分标准划分的档次给予相应的分数
第一试
一选择题本题满分42分每小题7分选择题1设aA24【答】A由a
71则3a312a26a12
B25C4710D4712


71得a282762a故a22a6所以
3a312a26a123aa22a6a26a126a212a126×61224
2在△ABC中最大角∠A是最小角∠C的两倍且AB7AC8则BCA72【答】C延长CA至D使ADAB则∠D∠ABDB10C
105
D73
D
1∠CAB∠C所以2
A
BDCD△CBD∽△DAB所以故BD2ABCD7×87105所ABBD
以BD105又因为∠C∠D所以BCBD105
CB
3用x表示不大于x的最大整数则方程x22x30的解的个数为A1B2【答】CC3D4


由方程得x232x而x≤x所以x3≤2x即x2x3≤0解得1≤x≤3从而x只可
22
能取值10123当x1时x1解得x1
2
当x0时x3没有符合条件的解
2
当x1时x5没有符合条件的解
2
当x2时x7解得x
2
7
2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准
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f当x3时x9解得x3
2
因此原方程共有3个解4设正方形ABCD的中心为点O在以五个点ABCDO为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个它们的面积相等的概率为A
314
B
37
C
12
D
47
【答】B不妨设正方形的面积为1容易知道以五个点ABCO为顶点所构成的三角形都是等腰直角三角形D它们可以分为两类1等腰直角三角形的直角顶点为正方形ABCD的四个顶点之一这样的三角形有4个它们的面积都为
12
2等腰直角三角形的直角顶点为正方形ABCD的中心O这样的三角形也有4个它们的面积都为
14
所以以五个点ABCDO为顶点可以构成448个三角形从中任意取出两个共有28种取法要使取出的两个三角形的面积相等则只能都取自第1类或都取自第2类不同的取法有12种因此所求的概率为
123287
5如图在矩形ABCD中AB3BC2以BC为直径在矩形内作半圆自点A作半圆的切线AE则si
∠CBEA
63
B
23
C
13
D
1010
AD
【答】D设BC的中点为O连接OECE因为AB⊥BCAE⊥OE所以ABOE四点共圆故∠BAE∠COE又ABAEr