例2．如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角为（A）
π
4
B
π
3
C
π
2
D
与P点的位置有关
分析：M点是定点，则AM是确定的，P点是A1B1上任意一点，随着P点的变化，直线OP形成了一个“轨迹面”A1B1O，即面A1B1EF，直线OP与直线AM所成的角即为考虑定直线OM与动直线形成的轨迹面A1B1EF之间的关系。易知AM⊥面A1B1EF，∴AM⊥OPAD
D1A1
PM
C1B1
OB
C
例3．在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，F分别为棱AB、上的动点，AEBF，E、BC且（1）求证：A1F⊥C1E；（2）当三棱锥B1BEF的体积取得最大时，求二面角B1EFB的大小。分析：（1）A1FC1E都是动直线，最终的结果是A1F⊥C1E，则可考虑利用线面垂直来得到，此时需构造平面。假设E、F是静止的，在B1B上取一点G构造平面C1EG，使之保持与A1F垂直，A1F在平面A1B、平面C1B内的射影分别为A1BB1F，所以G点的位置应满足DAEBF
D1A1B1
G
C1
C
BGBEFC，此时易知A1B⊥EG，则A1F⊥EG；C1G⊥B1F，则A1F⊥C1G，∴A1F⊥平面C1EG。（2）随着E、F点的变化，三棱锥B1BEF的形状
发生变化，但在变化过程中三棱锥的高B1B不变，底面BEF中BEBFa为定值，
VB1BEF
1aBEBF213BEBFB1B≤a66224
例4．已知直三棱柱ABCA1B1C1，ABAC，F为棱BB1上的一点，BFFB121，
BFBC2a，1）D为BC的中点，为线段AD上不同于A、的任一点，（若ED证明：⊥FC1；EF
（2）试问：若AB2a，在线段AD上的E点能否使EF与平面BB1C1C成60°角，为什么？证AEBDC
f明你的结论。分析：（1）E点在线段AD上运动，则EF形成轨迹面ADF，要证明EF⊥FC1，只需证明FC1⊥面ADF，根据已知条件不难得到AD⊥面BCC1B1，则AD⊥FC1，计算可得
FC1⊥DF。
（2）E点在线段AD上运动，所需满足的条件是EF与平面BCC1B1成60°角。因为AD⊥面
BCC1B1，所以∠EFD为EF与平面BCC1B1所成的角，设DEx，则
ta
60°DEDFxa22a2
，∴x15a，又因E点在线段AD上，x∈03a，所以线
段AD上的E点不能使EF与平面BB1C1C成60°角。例8．已知二面角αDCβ是θ度的二面角，A为面α内一点，ADC的面积为S，且DCm，过A作直线AB交平面β于B，使AB⊥DC且与β所成的角为30°，求当θ等于多少度时，BDC面积取得最大值，并求出这个最大值。分析：此问题中，随着θ的变化，r