小学数学奥数基础教程五年级
本教程共30讲
分解质因数自然数中任何一个合数都可以表示成若干个质因数乘积的形式，如果不考虑因数的顺序，那么这个表示形式是唯一的。把合数表示为质因数乘积的形式叫做分解质因数。例如，6022×3×5，19982×33×37。例1一个正方体的体积是13824厘米3，它的表面积是多少？分析与解：正方体的体积是“棱长×棱长×棱长”，现在已知正方体的体积是13824厘米3，若能把13824写成三个相同的数相乘，则可求出棱长。为此，我们先将13824分解质因数：
把这些因数分成三组，使每组因数之积相等，得13824（23×3）×（23×3）×（23×3），
于是，得到棱长是23×324（厘米）。所求表面积是24×24×63456（厘米2）。
例2学区举行团体操表演，有1430名学生参加，分成人数相等的若干队，要求每队人数在100至200之间，共有几种分法？
分析与解：按题意，每队人数×队数1430，每队人数在100至200之间，所以问题相当于求1430有多少个在100至200之间的约数。为此，先把1430分解质因数，得1430＝2×5×11×13。
从这四个质数中选若干个，使其乘积在100到200之间，这是每队人数，其余的质因数之积便是队数。
2×5×11110，13；2×5×13130，11；11×13143，2×510。
f所以共有三种分法，即分成13队，每队110人；分成11队，每队130人；分成10队，每队143人。
例31×2×3×…×40能否被90909整除？分析与解：首先将90909分解质因数，得9090933×7×13×37。因为33（27），7，13，37都在1～40中，所以1×2×3×…×40能被90909整除。例4求72有多少个不同的约数。分析与解：将72分解质因数得到7223×32。根据72的约数含有2和3的个数，可将72的约数列表如下：
上表中，第三、四行的数字分别是第二行对应数字乘以3和32，第三、四、五列的数字分别是第二列对应数字乘以2，22和23。对比7223×32，72的任何一个约数至多有两个不同质因数：2和3。因为72有3个质因数2，所以在某一个约数的质因数中，2可能不出现或出现1次、出现2次、出现3次，这就有4种情况；同理，因为72有两个质因数3，所以3可能不出现或出现1次、出现2次，共有3种情况。
根据乘法原理，72的不同约数共有4×312（个）。从例4可以归纳出求自然数N的所有不同约数的个数的方法：一个大于1的自然数N的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数加1的连乘积。例如，235224×3×72，因为2352的质因数分解式中有4个2，1个3，2个7，所以2352的不同约数有
（41）×（11）×（21）30（个）；r