一、填空题。
1
方程
x3
d2xdt2

1

0
是
常微分方程练习试卷
阶
（线性、非线性）微分方程
2方程xdyfxy经变换_______，可以化为变量分离方程

ydx
3
微分方程d3ydx3
y2x0满足条件y01y02的解有
个
4设常系数方程yyyex的一个特解yxe2xexxex，则此方程的系数

，
，

5朗斯基行列式Wt0是函数组x1tx2tx
t在axb上线性相关的条件
6方程xydx2x23y220dy0的只与y有关的积分因子为

7已知XAtX的基解矩阵为t的，则At

8
方程组
x


20
05
x
的基解矩阵为
．
9可用变换
将伯努利方程
化为线性方程
10是满足方程y2y5yy1和初始条件
的唯一解
11方程
的待定特解可取
12三阶常系数齐线性方程y2yy0的特征根是
的形式
二、计算题1求平面上过原点的曲线方程该曲线上任一点处的切线与切点和点10的连线相互垂直
2．求解方程dyxy1dxxy3
3
求解方程
x
d2dt
x
2
dx2dt
0
。
4．用比较系数法解方程

f5．求方程yysi
x的通解
6．验证微分方程cosxsi
xxy2dxy1x2dy0是恰当方程，并求出它的通解
7．设
A

3

2
14
，


11
，试求方程组dXdt
AX的一个基解基解矩阵t，求dXdt
AX
满足初始条件x0的解
8求方程dy2x13y2通过点10的第二次近似解dx
9求dy34xydy8y20的通解
dx
dx
10若
A

21
14
试求方程组xAx的解t
0



12


并求expAt
三、证明题
1若tt是XAtX的基解矩阵，求证：存在一个非奇异的常数矩阵C，使得ttC
2设xx0x是积分方程
yxy0
x2yd
x0
x0x
的皮卡逐步逼近函数序列
x在上一致收敛所得的解，而x是这积分方程在上的
连续解，试用逐步逼近法证明：在上xx
3设
都是区间
上的连续函数且
的一个基本解组试证明
是二阶线性方程
iiiiii
和都只能有简单零点即函数值与导函数值不能在一点同时为零
和没有共同的零点
和
没有共同的零点
4试证：如果t是dXdt

AX满足初始条件t0的解，那么t

exp
Att0

f答案一填空题。
1二，非线性
2uxy，
1du1dx
ufu1x
3无穷多4321
5必要
6y3
7t1t
8
eAt

e2t
0
0
e5t

9
10
11
121
二、计算题1求平面上过原点的曲线方程该曲线上任一点处的切线与切点和点10的连线相互垂直
解设曲线方程为可得如下初值问题
切点为xy切点到点10的连线的斜率为则由题意

分r