边形(包括矩形、正方形、菱形)的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质,所以在添辅助线方法上也有共同之处,目的都是造就线段的平行、垂直,构成三角形的全等、相似,把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理,其常用方法有下列几种,举例简解如下:(1)连对角线或平移对角线:(2)过顶点作对边的垂线构造直角三角形(3)连接对角线交点与一边中点,或过对角线交点作一边的平行线,构造线段平行或中位线(4)连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段,构造三角形相似或等积三角形。(5)过顶点作对角线的垂线,构成线段平行或三角形全等
1.利用一组对边平行且相等构造平行四边形例1如图1,已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC的中点,四边形OCDE是平行四边形求证OE与AD互相平分
分析因为四边形OCDE是平行四边形所以OCEDOCDE又由O是AC的中点得出AOEDAOED则四边形AODE是平行四边形问题得证证明连结AE、OD,因为是四边形OCDE是平行四边形,所以OCDE,OCDE,因为0是AC的中点,所以A0ED,AOED,所以四边形AODE是平行四边形,所以AD与OE互相平分说明:当已知条件中涉及到平行,且要求证的结论中和平行四边形的性质有关,可试通过添加辅助线构造平行四边形2.利用两组对边平行构造平行四边形例2如图2,在△ABC中,E、F为AB上两点,AEBF,EDAC,FGAC交BC分别为D,G求证EDFGAC分析要证明EDFGAC因为DEAC可以经过点E作EHCD交AC于H得平行四边形得EDHC然后根据三角形全等证明FGAH
证明过点E作EHBC交AC于H因为EDAC所以四边形CDEH是平行四边形所以EDHC又FGACEHBC所以∠AEH∠B∠A∠BFG又AEBF所以△AEH≌△FBG所以AHFG所以FGDEAHHCAC说明:当图形中涉及到一组对边平行时,可通过作平行线构造另一组对边平行,得到平行四边形解决问题
f3.利用对角线互相平分构造平行四边形例3如图3,已知AD是△ABC的中线,BE交AC于E,交AD于F,且AEEF求证BFAC分析:要证明BFAC,一种方法是将BF和AC变换到同一个三角形中,利用等边对等角;另一种方法是通过等量代换,寻找和BF、AC相等的相段代换寻找相等的线段的方法一般是构造平行四边形证明:延长AD到G,使DGAD,连结BG,CG,因为BDCD,所以四边形ABGC是平行四边形,所以ACBG,ACBG,所以∠1∠4,因为AEEF,所以∠1∠2,又∠2∠3,所以∠1∠4,所以BFBGAC
说明:本题通过利用对角线互相平分构造平行四边形,实际上是采用了平移法构造平行r