第十九讲
三、组合计数知识、方法、技能组合计数就是计算集合的元素个数。它是组合数学的重要组成部分在具体问题中给出的集合各式各样，都具有实际意义，而且集体中的元素是由某些条件所确定的，要判定一个元素是否属于某集合A，已非易事，要确定A的元素个数就更难了这正是研究计算问题的原因。解决组合计算问题虽然不需要高深理论知识，却需要重要的计算原理与思想方法Ⅰ．几种特殊的排列、组合1．圆排列定义1：从几个元素中任取r个不同元素仅按元素之间的相对位置而不分首尾排成一个
r圆圈，这种排列称为
个不同元素的r圆排列。r圆排列数记为K

定理1：K
r
P
rr
证：对
个不同元素取r个的任一圆排列，均有r种不同的方式展开成r个不同的直线
r排列，且不同的圆排列展开的直线排列也彼此不同，故有rK
Pr
，得正
2．重复排列定义2：从
个不同元素中允许重复的任取r个元素排成一列，称为
个不同元素的r可重复排列定理2：
个不同元素的r可重排列数为
r证：在按顺序选取的r个元素中，每个元素都有
种不同的选法，故由乘法原理有，其排列数为
r3．不全相异元素的全排列定义3：设
个元素可分为k组，每一组中的元素是相同的，不同组间的元素是不同的，其中第i组的元素个数为
ii12…k
1
2…
k
则这
个元素的全排列称为不全相异元素的全排列定理3：
个元素的不全相异元素的全排列个数为

1
2
k
证：先把每组中的元素看做是不相同的，则
个不同元素的全排列数为
，然后分别将每个组的元素还其本来面目看成是相同的，则在这
个全排列中，每个排列都重复出现了
1！
2……
k！次，所以不全相异元素的全排列数4．多组组合

1
2
k
f定义4：将
个不同的元素分成k组的组合称为
个不同元素的k组合定理4：对于一个
个不同元素的k组合，若第i组有
i个元素（i12…，k），则不同的分组方法数为

1
2
k

证：我们把分组的过程安排成相继的k个步骤第一步，从
个不同元素中选
1个，有C
1
2种方法；第二步，从
－
1个元素中选
2个有C
1种方法；…；第k步，从
－（
1
2…


k－1）个元素中选
k个元素，有C
k－（
1
2…
k－1）种方法，再由乘法原理得证5．重重组合定义5：从
个不同元素中任取r个允许元素重复出现的组合称为
个不同元素的r可重组合定理5：
个不同元素的r可重组合的个数为Cr
r－1证：设（a1a2…，ar