全国名校高中数学人教必修二优质课时训练汇编（附详解）
球的体积和表面积
一、选择题
1．两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为
A．2∶3
B．4∶9
C2∶3
D8∶27
解析：选B设两个球的半径分别为r1，r2，则VV12＝rr2313＝287∴rr12＝
23，SS12＝rr2122＝49
2．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，
则球的表面积为
8π
32π
A3
B3
C．8π
82πD3
解析：选C设球的半径为R，则截面圆的半径为R2－1，∴截
面圆的面积为S＝πR2－12＝R2－1π＝π，∴R2＝2，∴球的表面积S
＝4πR2＝8π
3．设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球
面上，则该球的表面积为
A．3πa2
B．6πa2
C．12πa2
D．24πa2
解析：选B由于长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，则长
方体的体对角线为2a2＋a2＋a2＝6a，又长方体的外接球的直径
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2R等于长方体的体对角线，所以2R＝6a，则S球＝4πR2＝4π26a2＝6πa2
4．如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥
的侧面面积和球的表面积之比为
A．4∶3
B．3∶1
C．3∶2
D．9∶4
解析：选C作轴截面如图，则PO＝2OD，∠CPB
＝30°，CB＝33PC＝3r，PB＝23r，圆锥侧面积S1
＝6πr2，球的面积S2＝4πr2，S1∶S2＝3∶2
5．优质试题新课标全国高考平面α截球O的球面所得圆的半
径为1，球心O到平面α的距离为2，则此球的体积为
A6π
B．43π
C．46π
D．63π
解析：选B利用截面圆的性质先求得球的半径长．
如图，设截面圆的圆心为O′，M为截面圆上任一点，则OO′＝2，O′M＝1，
∴OM＝22＋1＝3，即球的半径为3，∴V＝43π33＝43π
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二、填空题6．优质试题盐城模拟圆柱形容器的内壁底半径是10cm，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了53cm，则这个铁球的表面积为________cm2解析：设该铁球的半径为r，则由题意得34πr3＝π×102×35，解得
r3＝53，∴r＝5，∴这个铁球的表面积S＝4π×52＝100πcm2．答案：100π7．球内切于正方体的六个面，正方体的棱长为a，则球的表面
积为________．解析：正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面正
方形的中心，经过四个切点及球心作截面，如图，
所以有
a2r1＝a，r1＝2，所以
S1＝4πr21＝πa2
答案：πa28．优质试题天津高考一个几何体的三视图如图所示单位：m，则该几何体的体积为___r