题可以有更一般的结论，如若仅已知∠APB∠CPD，求证：2QMPANPDABC是△的高线，KABACFKEAB；请同学们自己研究．AC为AD上一点，BK交AC于E，CK交AB于F求证：∠FDA＝∠EDACBD分析为了把已知条件之间建立联系，可以通过作平行线的方法证明如图，过点A作BC的平行线分别交直线DE、DF、BE、CF于Q、P、N、M
f显然，
BDKDDC＝＝ANKAAM
1
有BDAM＝DCAN
APAFAM＝＝，有BDFBBCBDAMAP＝BCAEANAQ由＝＝，有ECBCDCDCANAQ＝BC
由
2
3
对比1、2、3有AP＝AQ显然AD为PQ的中垂线，故AD平分∠PDQ所以，∠FDA＝∠EDA说明这里原题并未涉及线段比添加BC的平行线就有大量的比例式产生恰当地运用这些比例式就使AP与AQ的相等关系显现出来本题证明方法很多，例如可以过点E、F作BC的垂线，也转化为线段的比来研究链接若K为△ABC的垂心时，△DEF为垂三角形，对于垂三角形有如下性质：三角形的垂线二等分其垂三角形的内角或外角关于垂心的性质可参见本书高一分册第十七讲《三角形的五心》．
情景
再现
E、F
1．点分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连AF，CE，设AF，CE交于点G，则
D
S四边形AGCDS矩形ABCD
CGFB
等于（3C．4
）2D．3
5A．6
4B．5
（2002年全国初中数学竞赛试题）2在△ABC中，D为AB的中点，CB到点E，F，使DEDF；过E，CB的垂线，相交于P．设线段PA，为M，N．求证：∠PAE∠PBF．2003年全国初中数学竞赛3．如图，四边形ABCD为平行四∠BAF＝∠BCE求证：∠EBA＝
EA
A
E
CDB
分别延长CA，F分别作CA，PB的中点分别
F
EA
P
G
DC
B
F
边形，∠ADE
fB类例题例4如图，AD为△ABC的中线，E、且DEDF，求证：BECFEF分析由要证的结论，可联想到构造三大于第三边解决问题要构造三角形，从而可以运用平移、旋转、作对称等证法证法一延长FD到F，使得DFDF，由D为BC的中点，显然△DBF≌△BFCF，又因为DE垂直平分FF，角形BEF中，BEBFEF从而证法二作点B关于DE的对称点DB、FB则EBBE，不难得到∠BDF＝∠CDF从而可知B、C于是BFCF，在三角形BEF中，从而BECFEF说明证法一也可以从中心对称角和F关于点D对称
A
F分别在AB、AC上，
F
E
B
D
C
角形，运用两边之和就要移动一些线段，方法，于是有如下连结BF、EF，DCF于是所以EFEF在三BECFEF
C
A
E
F
B
B
A
D
E
F
F
B，连结EB、DBDBDC，关于DF对称，BEBFEF
B
D
C
度来理解，F
f链接常见的几何变换有：
一、平移变r