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第2讲数列求和及数列的综合应用
自主学习导引真题感悟
1．2012大纲全国卷已知等差数列a
的前
项和为S
，a5＝5，S5＝15，则数列a
a1
＋1
的前100项和为
100A101
99B101
99C100
101D100
解析利用裂项相消法求和．
设等差数列a
的首项为a1，公差为d∵a5＝5，S5＝15，
a1＋4d＝5，
∴5×5－1
，
5a1＋2d＝15，
a1＝1
∴
∴a
＝a1＋
－1d＝

d＝1，
1
111
∴a
a
＋1＝
＋1＝
－
＋1，
1
∴数列
的前
a
a
＋1
100
项和为
1－12＋12－13＋…1100－1101＝1－1101＝110001
答案A2．2012浙江已知数列a
的前
项和为S
，且S
＝2
2＋
，
∈N＋，数列b
满足a
＝4log2b

＋3，
∈N＋
1求a
，b
；
2求数列a
b
的前
项和T
解析1由S
＝2
2＋
，得
当
＝1时，a1＝S1＝3；
当
≥2时，a
＝S
－S
－1＝4
－1
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所以a
＝4
－1，
∈N＋由4
－1＝a
＝4log2b
＋3，得b
＝2
－1，
∈N＋2由1知a
b
＝4
－12
－1，
∈N＋，所以T
＝3＋7×2＋11×22＋…＋4
－12
－1，2T
＝3×2＋7×22＋…＋4
－52
－1＋4
－12
，所以2T
－T
＝4
－12
－3＋42＋22＋…＋2
－1＝4
－52
＋5故T
＝4
－52
＋5，
∈N＋
考题分析数列的求和是高考的必考内容，可单独命题，也可与函数、不等式等综合命题，求解的过程体现了转化与化归的数学思想，解答此类题目需重点掌握几类重要的求和方法，并加以灵活应用．
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高频考点突破
考点一：裂项相消法求数列的前
项和【例1】2012门头沟一模数列a
的前
项和S
＝
2＋11求数列a
的通项公式；2设b
＝a
1a
＋1
∈N＋，求数列b
的前
项和T
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S1，
＝1，
审题导引1运用公式a
＝
求a
，注意
＝1时通项公式a
；
S
－S
－1，
≥2，
2裂项法求和．
规范解答1由已知，当
＝1时，a1＝S1＝2，当
≥2时，a
＝S
－S
－1＝2
－1，
2，
＝1，∴数列a
的通项公式为a
＝
2
－1，
≥2
2由1知，
16，b
＝2
－112
＋1＝122
1－1－2
1＋1，

＝1，
≥2，
1当
＝1时，T1＝b1＝6，当
≥2时，T
＝b1＋b2＋…＋b
＝16＋1213－15＋15－17＋…＋2
1－1－2
1＋1＝13－4
1＋2，
11∴b
的前
项和T
＝3－4
＋2
【规律总结】
常用的裂项技巧和方法
用裂项相消法求和是最难把握的求和问题之一，其原因是有时很难找到裂项的方向．突破这
类问题的方法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧，如：1
1＋k＝1k1
－
＋1k；
2
1r