2013年湖南省高中数学竟赛试题A卷
一、填空题（每小题8分，共72分）选择题（本大题共10个小题，每个小题6分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．设ab
x
34
43
x1
clog3x，若x1，则将abc按从小到大的顺序排序排列
4
为．cab2．已知ab为常数，若fxx22xa，fbx4x24x1，则faxb0的解集为．xRx13．已知向量a01b
3131c，xaybzc11，则2222
43
22S
a12对任意等差数列a
及任何正
2
x2y2z2的最小值为
．
4．设S
为数列a
的前
项和，若不等式a
整数
恒成立，则的最大值为．
155．平面上三条直线x2y20x20xky0，如果这三条直线将平面划分成六个部分，则k可能取值的个数是．36．已知异面直线ab成60角，P为空间中一定点，则过点P且与ab均成45角的平面
的个数是．27．有一个1，2，3，…，9的排列，现将其重新排列，则1和2不在原来位置的概率是案中可含有排列数表示式）（答．
57A9A91
．3
2013
77
8．若si
x20cosx10cosx10，则ta
x
9．今天（2013年7月19日）是星期五，则3天之后是星期．四二、解答题（共4个小题，共78分）10．如图所示，在对边乘积相等的圆内接凸四边形ABCD中，M为对角线BD的中点，T为劣弧BC上一点，且CTDB，求证：A、M、T三点共线．证明：由题设，在圆内接四边形ABCD中，ABCDBCDA．连结DT、BT、AC．由CTDB知四边形DBTC为等腰梯形，从而CDTBDTBC．由ABCDBCDA，可知ABBTDTDA．注意到∠ABT与∠TDA互补，知，
11ABBTsi
ABTDTDAsi
TDA，即22
SABTS
AD．T
由此可知AT过DB的中点，故A、M、T三点共线．
1
f11．已知数列a
满足a11a
12a
1
N．（1）求数列a
的通项公式；（2）证明：

1a1a223a2a3

a
．a
12
解：（1）因为a
12a
1，所以a
112a
122a
11即a
2
1．2证明：∵
2
a112
1，
ak2k1k1ak121
2k11＜k12
1222k2
∴
aa1a2
＜a2a3a
12
∵
ak1112k11111≥kk12…
k1k1kkak121222123222232

题源（2006年福建卷）已知数列｛a
｝满r