2
2000年全国高中数学联赛第一试
10．已知fx是定义在R上的函数，f11且对任意xR都有fx5fx5若gxfx1x，则g2002．．
fx1fx1
11．若log4x2ylog4x2y1，则xy的最小值是
高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxxcom我们负责传递知识！
f12．使不等式si
2xacosxa21cosx对一切xR恒成立的负数a的取值范围是答案10解：由gxfx1x，得fxgxx1，所以
．
gx5x51gxx15gx1x11gxx11
即gx5gx，gx1gx∴gxgx5gx4gx2gx1gx∴gx1gx即gx是周期为1的周期函数，又g11，故g20021
x2y0x2y011解：x2y022x4y4x2yx2y4
由对称性只考虑y0，因为x0，所以只须求xy的最小值．令xyu公代入x4y4，有3y2uy4u0．
2222
这是一个关于y的二次方程显然有实根，故16u30，∴u3
2
当x
433，y时，u3．故xy的最小值为333
12解：原不等式可化为cosx∵1cosx1，a0，
a12
a
22
a124
a102a12a12∴当cosx1时，函数ycosx有最大值1，22
从而有1
a12a12a2，整理得a2a2024
∴a1或a2，又a0，∴a2
高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxxcom我们负责传递知识！
f1999年全国高中数学联合竞赛三、满分20分已知当x01时，不等式
x2cosx1x1x2si
0恒成立，试求的取值范围．
答案13若对一切x［0，1］，恒有fxx2cosx1x1x2si
0，则cosθf10si
θf001
取x0，1，由于fx2x1xsi
cosx1x，所以，fx0恒成立，当且仅当2si
cos10先在［02π］中解1与2：由cosθ0si
θ0，可得0θ又由（2）得所以，si
2θ2

2


12
θ
512
12
注意到02θπ，故有

6
2θ
56
因此，原题中θ的取值范围是2kπ

12
θ2kπ
5kZ12
或解：若对一切x∈［0，1］，恒有22fxxcosθx1x1xsi
θ0，则r