直线上三数之和×2,所以,每条直线上三数之和等于15重叠数÷2。因为每条直线上的三数之和是整数,所以重叠数只可能是1,3或5。若“重叠数”1,则两条直线上三数之和为151÷28。填法见左下图;若“重叠数”3,则两条直线上三数之和为153÷29。填法见下中图;若“重叠数”5,则两条直线上三数之和为155÷210。填法见右下图。
由以上几例看出,求出重叠数是解决数阵问题的关键。为了进一步学会掌握这种解题方法,我们再看两例。例4将1~7这七个自然数填入左下图的七个○内,使得每条边上的三个数之和都等于10。
分析与解:与例1类似,知道每条边上的三数之和,但不知道重叠数。因为有3条边,所以中间的重叠数重叠了两次。于是得到
f12…7重叠数×210×3。由此得出重叠数为10×312…7÷21。剩下的六个数中,两两之和等于9的有2,7;3,6;4,5。可得右上图的填法。如果把例4中“每条边上的三个数之和都等于10”改为“每条边上的三个数之和都相等”,其他不变,那么仿照例3,重叠数可能等于几?怎样填?例5将10~20填入左下图的○内,其中15已填好,使得每条边上的三个数字之和都相等。
解:与例2类似,中间○内的15是重叠数,并且重叠了四次,所以每条边上的三个数字之和等于
1011…2015×4÷545。剩下的十个数中,两两之和等于451530的有10,20;11,19;12,18;13,17;14,16。于是得到右上图的填法。例1~5都具有中心数是重叠数,并且每边的数字之和都相等的性质,这样的数阵图称为辐射型。例4的图中有三条边,每边有三个数,称为辐射型33图;例5有五条边每边有三个数,称为辐射型53图。一般地,有m条边,每边有
个数的形如下图的图形称为辐射型m-
图。
辐射型数阵图只有一个重叠数,重叠次数是“直线条数”1,即m1。对于辐射型数阵图,有
已知各数之和重叠数×重叠次数直线上各数之和×直线条数。由此得到:1若已知每条直线上各数之和,则重叠数等于直线上各数之和×直线条数已知各数之和÷重叠次数。如例1、例4。2若已知重叠数,则直线上各数之和等于已知各数之和重叠数×重叠次数÷直线条数。如例2、例5。3若重叠数与每条直线上的各数之和都不知道,则要从重叠数的可能取值分析讨论,如例3。
练习
f1将1~7这七个数分别填入左下图中的○里,使每条直线上的三个数之和都等于12。
如果每条直线上的三个数之和等于10,那么又该如何填?
2将1~9这九个数分别填入右上图中的○里其中9已填好,r