将
y
代入
x
（）

c24

2pc2
即方程的
x含参数形式的通解为：
c24
y

2pc2
p2c
p
为参数
又由
p3

4y2

0得
p

4
1
y23
代入（）得：
y

427
x3
也是方程的解
0y00
1y0
xxdxx2
0
2
2y0
x
x

x2
dx

x2

x5
0
4
220
５、解：
3y0
x
x
x4

x10

x7dx
x2

x5

x11

x8
0440020
2204400160
dxdt

x

y
xy10

６、解：由
x

y
5
0
解得奇点（3，2）令
Xx3Yy2
则
dydt

x
y
11
因为11110故有唯一零解（0，0）
1122112220
由11
得1i故（3，2）为稳
定焦点。
三、
证明题
由解的存在唯一性定理知：
阶齐线性方程一定存在满足如下条件的
解：
fx1t01x2t00x1t00x2t01
x
t00x
t00
x1
1t00x2
1t00x
1t011001
wx1t0x2t0x
t0
00
10
考虑
00
1
从而xiti12
是线性无关的。
常微分方程期终试卷2
一、填空题30
1、形如____________的方程，称为变量分离方程，这里fxy分别为xy的连
续函数。
2、形如_____________的方程，称为伯努利方程，这里PxQx为x的连续函
数
01是常数。引入变量变换，可化为线性方程。
3、如果存在常数L0使得不等式_____________对于所有
（xy1xy2R都成立，L称为利普希兹常数。函数fxy称为在R上关于y满足利普希兹条件。
4、形如_____________的方程，称为欧拉方程，这里a1a2是常数。
5、设t是xAx的基解矩阵，t是xAtxft的某一解，则它的任一
解t可表为_____________。
二、计算题40
dy6yxy2的通解。1、求方程dxx
dyyexy
2、求方程dxx
的通解。
3、求方程x6x5xe2t的隐式解。
dyxy2通过点（0、0）的第三次近似解。4、求方程dx
三、证明题30
t2
1试验证t2t
t1是方程组
0
x



2t2
12t
xx
x1

x2

，在任何不包含原点的区间
atb上的基解矩阵。
2设t为方程xAx（A为
常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）E），证明
t1t0tt0其中t0为某一值
f《常微分方程》期终试卷答卷一、填空题（每空5分）
dyfxy1dx
dyPxyQxy
2、dx
zy1

3fxy1fxy2Ly1y2
x
4、
d
ydx


a1x
1
d
1ydx
1
a
1x
dydx

a
y

0
5、ttt
二、计算题（每题10分）
1、这是

2
时的伯努利不等式，令
z
y1
算得
dzdx

y2
dydx
dz代入原方程得到dx
6x
z
x
，这是线性方程，求得它的通解为z
cx6

x28
1带回原来的变量y，得到y
cx6

x28
x6或者y

x88
c
，这就是原方程的解r