第八章多元函数微分学81基本知识点要求
1理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义2了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。3理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。4理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法5熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法6了解隐函数存在定理，熟练掌握多元隐函数偏导数的求法7了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，熟练掌握它们的方程的求法。8了解二元函数的二阶泰勒公式9理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，掌握二元函数极值存在的充分条件，并会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。
82基本题型及解题思路分析
题型1与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题
1二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。（1）基本概念①二元函数极限的定义：设fPfxy的定义域为DP0x0y0是D的聚
点若常数A，对于0，总0，使得当PxyDUP0时，都有
fPAfxyA成立，则称A为函数fxy当xyx0y0时的极
限，记作limfxyA或limfPA。
xyx0y0
PP0
②二元函数的连续：设fPfxy的定义域为DP0x0y0为D的聚点，
且
P0

D
若
x
lim
yx0y0

f
xy

f
x0y0，则称
f
xy在点P0x0y0连续。
（2）关于二元函数极限的解题思路
注意：在二元函数limPP0
f
P

A存在的定义中，P

P0方式任意，正是由于
这一点致使二元函数有与一元函数不一样的性态，在学习过程中注意比较、总结
和体会二者之间的不同。
①证明二元函数的极限不存在：若P以两种不同的方式趋于P0时，fP的极
f限不同，则limfP一定不存在（见例1）。PP0
②求二元函数的极限：可以应用一元函数求极限方法中的适用部分求二元函数的极限，比如：极限的局部有界性、局部保号性、四则运算法则、夹逼准则、两个重要的极限、变量代换法则、等价无穷小代换、分子分母有理化、无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量、连续性等（见例2）
例
1
证明：
f
x
y

xy2x2y4
在原点（00）的极限不存在。
【分析】观察分子、分母中变量xy的各次幂的特点，可考虑选择路径
xky2。
证明：limfxylimxy2limky4k，
r