S
σ
2
20
f第25届全国中学生物理竞赛复赛理论试题参考解答与评分标准
由18、19、20式得
T
代入有关数据得
2πabrfvf
21
T5678×104s约15小时46分
等于它们的轨道半长轴a与a0之比的立方，即
22
注：本小题有多种解法例如，由开普勒第三定律，绕地球运行的两卫星的周期T与T0之比的平方
TaT0a0
若a0是卫星绕地球沿圆轨道运动的轨道半径，则有
2
3
2πGMmma02a0T0
得
2
T024π24π23a0GMgR2
从而得
T
代入有关数据便可求得22式
2πaR
ag
4在绕月圆形轨道上，根据万有引力定律和牛顿定律有
GMmm2πmrm22rmTm
这里rmrHm是卫星绕月轨道半径，Mm是月球质量由23式和9式，可得
23
Mm
代入有关数据得
34π2rmM2gR2Tm
24
Mm00124M
25三、参考解答：参考解答：参考解答足球射到球门横梁上的情况如图所示（图所在的平面垂直于横梁轴线）图中B表示横梁的横截面，1为横梁的轴线；O
3
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O1O1′为过横梁轴线并垂直于轴线的水平线；A表示足球，O2为其球心；O点为足球与横梁的′碰撞点，碰撞点O的位置由直线O1OO2与水平线O1O1的夹角θ表示设足球射到横梁上时球
心速度的大小为v0，方向垂直于横梁沿水平方向，与横梁碰撞后球心速度的大小为v，方向用它与水平方向的夹角表示如图以碰撞点O为原点作直角坐标系Oxy，y轴与O2OO1重合以α0表示碰前速度的方向与y轴的夹角，以α表示碰后速度的方向与y轴负方向的夹角，足球被横梁反弹后落在何处取决于反弹后的速度方向，即角α的大小以Fx表示横梁作用于足球的力在x方向的分量的大小，Fy表示横梁作用于足球的力在y方向的分量的大小，t表示横梁与足球相互作用的时间，m表示足球的质量，有
Fxtmv0xmvx
Fytmvymv0y
12
式中v0x、v0y、vx和vy分别是碰前和碰后球心速度在坐标系Oxy中的分量的大小根据摩擦定律有
FxFy
由（1）、（2）、（3）式得
3

根据恢复系数的定义有
v0xvxvyv0y
vyev0y
4
（5）
因
ta
α0ta
α
由（4）、（5）、（6）、（7）各式得
v0xv0y
（6）
vxvy
（7）
ta
α
由图可知
11ta
α01ee
（8）
θα
（9）
4
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若足球被球门横梁反弹后落在球门线内，则应有
≥90
在临界情况下，若足球被反弹后刚好落在球门线上，这时90由（9）式得
10
ta
90r