线性空间知识小结
一向量组与线性空间
1定义
向量组某些向量的集合S
线性空间1非空集V数域F2V中定义了加法、数乘两种运算（封闭）3八条运算性质交换律结合律加法协调数乘协调加法与数乘协调
2例子
矩阵A的行向量组列向量组
F
12m
3不变量
秩rS极大无关组所含向量个数维数dimV基所含向量个数
4代表元5等价命题
极大无关组12rS
1线性无关2S中任意向量可由其线性表示2’添加任意一个向量后线性相关
若rSr12rS则
基12
V
1线性无关2V中任意向量可由其线性表示2’添加任意一个向量后线性相关
若dimV
12
V则
12rS是极大线性无关组12
是V的一个基
12r线性无关
12
线性无关
r
Saiii1

Vaiii1
6重要命题
S12r线性相V12
线性相
关
关
若S1线性无关S1可由S2线性表示
则S1所含向量个数S2所含向量个数且rS1rS2
1若dimV
则
V中任意
1个向量必线性相关V中任意
个线性无关向量都是V的一个基2V中任意线性无关向量组必可扩为V的一个基
1
f二向量组的等价
向量组S1S2等价
S1可由S2线性表示并且S2可由S1线性表示rS1rS2且S1可由S2线性表示S1与S2的极大无关组等价S1S2
向量组等价是等价关系（1）S1与S2等价（2）若S1与S2等价则S2与S1等价（3）若S1与S2等价S2与S3等价则S1与S3等价
三坐标与过渡矩阵
1坐标12
是V的一个基对任意Va11a22a
12
X其中Xa1a2a
T
2过渡矩阵A12
是V的另一个基12
12
AA的第i个列向量是i在基12
下的坐标
3同一向量在不同基下的坐标12
X12
Y则YA1X4度量矩阵的性质
112
和12
分别是V的两个基12
12
A则A可逆且12
12
A1
2设12
是V的一个基且12
12
B则12
12
AB
3设12
12
A则若12
是V的一个基A可逆则12
是V的另一个基
2
f四子空间
1定义称W是V的子空间，若1W是V的非空子集2W对于V的加法数乘封闭
从本质上说子空间就是一个线性空间2运算
V1V2121V12V2
V1V2V1且V2
3由S张成的子空间SS中向量所有可能的线性组合构成的子空间
1S是包含S的V的最小子空间
2dimSrS
3S的极大无关组是S的基
4V1V2V1V2例V1a0aFV20aaF但V1V2V1Vr