大学自主招生数学试题
交通大学2000年保送生数学试题
一、选择题本题共15分，每小题3分．在每小题给出的4个选项中，只有一项正确，把所选项的字母填在括号内1．若今天是星期二，则31998天之后是A．星期四B．星期三C．星期二D．星期一2．用13个字母A，A，A，C，E，H，I，I，M，M，N，T，T作拼字游戏，若字母的各种排列是随机的，恰好组成“MATHEMATICIAN”一词的概率是A．
4813
B．
21613
C．
172813
D．
813

3．方程cos2xsi
2xsi
x＝m1有实数解，则实数m的取值范围是
1A．m8
B．m3
C．m1
1D．3m8
4．若一项数为偶数2m的等比数列的中间两项正好是方程x2pxq＝0的两个根，则此数列各项的积是m2mm2mA．pB．pC．qD．q5．设f’x0＝2，则lim
h0
fx0hfx0hh
C．4D．4


A．2B．2二、填空题（本题共24分，每小题3分）1．设fx的原函数是x1，则2．设x0

1
0
f2xdx__________．

2
x
，则函数si
2x
xx
11cos2x的最小值是__________．2si
xcos2x
3．方程316281536的解x＝__________．
4．向量ai2j在向量b3i4j上的投影ab__________．






5．函数y2x33x2的单调增加区间是__________．6．两个等差数列200，203，206，…和50，54，58…都有100项，它们共同的项的个数是__________．7．方程7x2k13xk2k2＝0的两根分别在区间01和12内，则k的取值范围是__________．8．将3个相同的球放到4个盒子中，假设每个盒子能容纳的球数不限，而且各种不同的放法的出现是等可能的，则事件“有3个盒子各放一个球”的概率是________．三、证明与计算（本题61分）1．6分已知正数列a1，a2，…，a
，且对大于1的
有a1a2a
试证：a1，a2，…，a
中至少有一个小于1．
3
1
，a1a2a
．22
2．10分设3次多项式fx满足：fx2＝fx，f0＝1，f3＝4，试求fx．
第1页共49页
f大学自主招生数学试题
3．8分求极限lim
1p2p
pp0．
p1
4．10分设fx
x2bxcx0lxmx0
在x＝0处可导，且原点到fx中直线的距离为
1，原点到fx中3
曲线部分的最短距离为3，试求b，c，l，m的值．bc0
5．8分证明不等式：1si
xcosx2，x0
34

2
．
6．8分两名射手轮流向同一目标射击，射手甲和射手乙命中目标的概率都是命中目标谁就获胜，试求甲、乙两射手获胜的概r