高等数学竞赛模拟试题（高等数学竞赛模拟试题（七）参考答案
一填空题（每小题4分，共40分）填空题（1．
∞
∑
2
122l
2。
1
1
2．函数fxl
2xx关于x的幂级数展开式为l
2
2
11
1
∑
2
1x，收敛
1
∞
域为11。3．设函数fx在01上连续，且fx0，则极限lim
ffLf
→∞
l
fxdxe∫0。
1
1

2

1f1＝

4．曲线l
xl
y1所围图形的面积为e
1。e
5．设fxyz为连续函数，Σ为平面xyz50在第三卦限部分的上侧，则曲面积
分
∫∫2fxyzxdydzfxyzydzdx3fxyzzdxdy
Σ
125。2
6．
xydx2dy＝0。2xy2xy22x2y24
∫
2
7．幂级数
∑si
x
1
∞


的收敛域为11。
8．使得不等式l
x≤x对任意的正数x都成立的最小正常数α
α
1。e
9．设lim
ta
ta
xsi
si
xbta
xsi
xa10且b≠0则a＝3，b＝1。x→0xa
∞a11a
f
0则级数∑
1＝2。2
1xx
0a
a
2
10．函数fx
（每小题二、每小题7分，共28分）（1．设fx具有二阶连续导数，且f′′0≠0f0f′00t是曲线yfx上点
xfx处的切线在x轴的截距，求lim
xft。x→0tfx
f解：截距tx
fxf′′02，fxxοx2f′x2
f′xf′′0xοx
f′′0xοxt1fxf′′0limlim12，因此当x→0时，t→0，lim2x→0xx→0x→0xf′′0xοx22
xftftx2ftx21limlimlim2x→0tfxx→0xtx→02tfxfx2
2．证明：
∫
π
0
xasi
xdx∫2acosxdx≥
0
π
π3
4
π
a0为常数）。
π
证：
∫
π
0
xasi
xdx
π
π
2∫0
π
asi
xdxπ∫2asi
xdxπ∫2acosxdx
00
∫
π
0
xa
si
x
dx∫a
20
cosx
dxπ∫a
20
π
cosx
dx∫a
20
π
cosx
πcosxcosxπ3dx≥π∫2a2a2dx04
，其中S是1－
＋
2
a0
3．计算曲面积分I
∫∫
S
xdydzydzdxzdxdyx2y2z2
32
zx22y1272516
z≥0的上侧。
x2y2z2ε2取下侧，取正数ε足够小，使S1在立体解：补曲面S1z≥0
z0x2y2≥ε27722xyz0≤z≤7x2y1的内部，S2x22y122516≤11625
I
r