2012中考数学压轴题函数相似三角形问题一例1
直线y
1x1分别交x轴、y轴于A、B两点，△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°后3
得到△COD，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A、C、D三点．1写出点A、B、C、D的坐标；2求经过A、C、D三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G的坐标；3在直线BG上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与△COD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“11闸北25”，拖动点Q在直线BG上运动，可以体验到，△ABQ的两条直角边的比为1∶3共有四种情况，点B上、下各有两种．
思路点拨
1．图形在旋转过程中，对应线段相等，对应角相等，对应线段的夹角等于旋转角．2．用待定系数法求抛物线的解析式，用配方法求顶点坐标．3．第（3）题判断∠ABQ＝90°是解题的前提．
f4．△ABQ与△COD相似，按照直角边的比分两种情况，每种情况又按照点Q与点B的位置关系分上下两种情形，点Q共有4个．
满分解答
（1）A3，0，B0，1，C0，3，D－1，0．（2）因为抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A3，0、C0，3、D－1，0三点，所以
9a3bc0c3abc0a1解得b2c3
所以抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3＝－x－12＋4，顶点G的坐标为1，4．（3）如图2，直线BG的解析式为y＝3x＋1，直线CD的解析式为y＝3x＋3，因此CDBG．因为图形在旋转过程中，对应线段的夹角等于旋转角，所以AB⊥CD．因此AB⊥BG，即∠ABQ＝90°．因为点Q在直线BG上，设点Q的坐标为x，3x＋1，那么BQx23x210x．Rt△COD的两条直角边的比为1∶3，如果Rt△ABQ与Rt△COD相似，存在两种情况：
BQ10x3时，3．解得x3．所以Q1310，Q238．BA10
①当
②当BQ1时，10x1．解得x1．所以Q312，Q410．BA3333310
f图2
图3
考点伸展
第（3）题在解答过程中运用了两个高难度动作：一是用旋转的性质说明AB⊥BG；二是BQx23x210x．我们换个思路解答第（3）题：如图3，作GH⊥y轴，QN⊥y轴，垂足分别为H、N．通过证明△AOB≌△BHG，根据全等三角形的对应角相等，可以证明∠ABG＝90°．在Rt△BGH中，si
11，cos13．1010①当BQ3时，BQ310．BA在Rt△BQN中，QNBQsi
13，BNBQcos19．当Q在B上方时，Q1310；当Q在B下方时，Q238．②当
BQ1111时r