讲义一正弦定理和余弦定理以及其应用
一、知识与技能：掌握正弦定理和余弦定理，并能加以灵活运用。
二、知识引入与讲解：
Ⅰ、正弦定理的探索和证明及其基本应用：
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
a
b
si
Asi
B
csi
C
2R
例1．（1）、已知ABC中，A600，a
3
求
si

A
absi

B
c
si
C
（2）、已知ABC中，si
Asi
Bsi
C123，求abc
2：3）
Ⅱ、余弦定理的发现和证明过程及其基本应用：
2（答案：1：
例2．（1）、在ABC中，已知a23，c62，B600，求b及A（b22A600）
（2）、在ABC中，已知a80，b100，A450，试判断此三角形的解的情况。
例3．在ABC中，已知a7，b5，c3，判断ABC的类型。
分析：由余弦定理可知
a2b2c2A是直角ABC是直角三角形a2b2c2A是钝角ABC是钝角三角形a2b2c2A是锐角ABC是锐角三角形
（注意：A是锐角ABC是锐角三角形）
解：Q725232，即a2b2c2，∴ABC是钝角三角形。
练习：（1）在ABC中，已知si
Asi
Bsi
C123，判断ABC的类型。（2）已知ABC满足条件acosAbcosB，判断ABC的类型。（答案：（1）ABC是钝角三角形；（2）ABC是等腰或直角三角形）
例4在ABC中，A600，b1，面积为
32
，求
si
A
abcsi
Bsi
C
的值
分析：可利用三角形面积定理S

12
ab
si
C

12
ac
si

B

1bc2
si

A
以及正弦定理
a
b
si
Asi
B
csi
C

abcsi
Asi
Bsi
C
解：由S12bcsi
A
32
得c

2
，则
a2
b2
c2

2bccosA
3，即a

3，
从而
si

A
absi

cB
si
C
asi
A
2
例题5、某人在M汽车站的北偏西20的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M
站行驶。公路的走向是M站的北偏东40。开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20
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f千米后，到A的距离缩短了10千米。问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？
解：由题设，画出示意图，设汽车前进20千米后到达B处。在ABC
中，AC31，BC20，AB21，由余弦定理得
cosCAC2BC2AB223
2ACBC
31
则si
2C1cos2C432312
si
C12331
所以si
MACsi
（120C）si
120cosCcos120si
C353
62
在MAC中，由正弦定理得MCACsi
MAC31si
AMC3
2
35335
从而有MBMCBC15
62
答：汽车还需要行驶15千米才能到达M汽车r