§2数列的综合应用
一复习要点1数列在高中数学和实际生活中有着广泛的应用它与函数方程不等式三角复数立体几何和解析几何都有着密切的关系涉及数列的应用性问题也屡见不鲜成为高考命题的热点如2001年高考第21题2解答数列综合题既要有坚实的基础知识又要有良好的数学素质和较高的数学能力特别是逻辑思维能力和分析问题解决问题的能力著名数学家波利亚写过一本风靡世界的书叫做《怎样解题》书中把解题分为四步弄清问题拟定计划实现计划回顾其中关键是第二步但大前提是第一步弄清题意主要是明确已知是什么求证求解是什么即从题目本身去获取从何入手向何方前进的信息题目的条件和结论是两个信息源从条件发出的信息预示可知并启发解题手段从结论发出的信息预告需知并诱导解题方向为了从中获得尽可能多的信息我们要逐字逐句地分析条件分析结论分析条件和结论之间的关系常常还要辅以图形或记号以求得目标与手段的统一3解答数列应用性问题关键是如何将它转化为数学问题所以要注意审题和分析比较综合判断表述要有良好的思维品质解答应用性问题通常分为四步1阅读理解就是读懂题目中的文字叙述理解问题的实际背景从背景中概括出问题的数学实质2进行数学化设计将实际问题转化为一个数学问题3进行标准化设计将数学问题转化为一个常规的数学问题加以解决具体到本专题的内容就是要转化为一个等差或等比数列问题来解决4将数学问题转化为实际问题即回答实际问题二例题讲解例1已知函数fxx
1
a0
1求fx的反函数fx及其定义域a13a2数列a
满足a
1f
1
a

设b
a
aa
a数列b
的前
项和为S
试比较S
与78的大小并证明你的结论讲解这是一道数列与函数的综合题首先应准确地求出fx及其定义域其次由a
1fa
判断数列a
的性质进而由b
a
aa
a判断数列b
的性质1给yxxya2y∵∴yxyya2yya2yyaya2y≥0y≥a或a≤y0
12222222211
两边平方整理得
故fxxa2x其定义域为a0∪a∞2∵
2
a
1fa
a
a2a
2
1
2
2
∴b
1a
1aa
1a…a
aa
a
b
又a13ab1a1aa1a3aa3aa12∴b
b
1b
22b
32…b12∴
2
1223
1
122

1

4
S
b1b2…b
1212122122122…
2
3
122
f注意到2∴∴

1
11
1
1

1
1C
1
12
1
12
C
1…C
1
2

1

则当
≥4时2122
≥1C

1C
11
1
1
22
1
12

234
1
S
12121221221r