知椭圆C：2＋2＝1a＞b＞0的离心率为，Aa0，B0，b，O00，△OABab2的面积为11求椭圆C的方程；2设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N求证：ANBM为定值．c311解由已知＝，ab＝1a22又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝1，c＝3x2∴椭圆C的方程为＋y2＝142证明由1知，A20，B01．x202设椭圆上一点Px0，y0，则＋y0＝14y0当x0≠0时，直线PA方程为y＝x－2，x0－2－2y0令x＝0得yM＝x0－22y0从而BM＝1－yM＝1＋x－20y0－1直线PB方程为y＝x＋1，x0令y＝0得xN＝－x0y0－1
x0∴AN＝2－xN＝2＋y－10x01＋2y0∴ANBM＝2＋y－1x0－20＝＝
x0＋2y0－2x0＋2y0－2y0－1x0－2x0＋4y0＋4x0y0－4x0－8y0＋4x0y0－x0－2y0＋2
22
f＝
4x0y0－4x0－8y0＋8＝4x0y0－x0－2y0＋2
当x0＝0时，y0＝－1，BM＝2，AN＝2，∴ANBM＝4故ANBM为定值．高考必会题型题型一利用椭圆的几何性质解题x2y21例1如图，焦点在x轴上的椭圆＋2＝1的离心率e＝，F，A分别是椭圆的一个焦点和4b2→→顶点，P是椭圆上任意一点，求PFPA的最大值和最小值．
解设P点坐标为x0，y0．由题意知a＝2，c1∵e＝＝，∴c＝1，∴b2＝a2－c2＝3a2x2y2所求椭圆方程为＋＝143∴－2≤x0≤2，－3≤y0≤3→又F－10，A20，PF＝－1－x0，－y0，→PA＝2－x0，－y0，121→→22∴PFPA＝x0－x0－2＋y20＝x0－x0＋1＝x0－244→→当x0＝2时，PFPA取得最小值0，→→当x0＝－2时，PFPA取得最大值4点评熟练掌握椭圆的几何性质是解决此类问题的根本，利用离心率和椭圆的范围可以求解范围问题、最值问题，利用a、b、c之间的关系和椭圆的对称性可构造方程．x2y2变式训练1如图，F1、F2分别是椭圆C：2＋2＝1ab0的左、右焦点，A是椭圆C的顶ab点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2＝60°
f1求椭圆C的离心率；2若△AF1B的面积为403，求椭圆C的方程．解1由题意可知，△AF1F2为等边三角形，1a＝2c，所以e＝22方法一a2＝4c2，b2＝3c2，直线AB的方程可为y＝－3x－c，将其代入椭圆方程3x2＋4y2＝12c2，833得Bc，－c，55816所以AB＝1＋3c－0＝c，551由SAF1B＝AF1ABsi
∠F1AB2183232＝aa＝a＝403，2525x2y2解得a＝10，b＝53，所以椭圆C的方程为＋＝110075方法二设AB＝t，因为AF2＝a，所以BF2＝t－a，r