a函数hx在区间－∞，－上单调递增，在区间－2，－6上单调递减，在区间2
－a，－1上单调递增，又因为h－a－h－1＝1－a＋1a2＝1a－22＞0，6244
【反思】本题考查了导数的运算性质，导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性及最值的方法．利用列表法，研究h′x的正负及单调区间一目了然．求最值时，要考虑99极值点，－，－与区间－∞，－1的关系，所以分类讨论来确定最值．26
热点二
导数、函数与不等式
用导数的方法研究与函数有关的不等式问题，是巧妙地构造函数，然后这个函数的单调性、极值、最值及特殊点的函数值，结合不等式的性质来解决．例22012高考辽宁卷设fx＝l
x＋x－1，证明：
f31当x＞1时，fx＜x－1；29x－12当1＜x＜3时，fx＜x＋5【审题】本题涉及fx的不等式，可以构造形如fx－φx的函数来证明．【转化】331当x＞1，所证fx＜x－1转化为fx－x－1＜0证明．22
9x－19x－12当1＜x＜3，fx＜转化为fx－＜0，证明．x＋5x＋5【证明】31法一：记gx＝l
x＋x－1－x－1，则当x＞1时，2
113g′x＝＋－＜0x2x23又g1＝0，所以有gx＜0，即fx＜x－1．2x1法二：当x＞1时，2x＜x＋1，故x＜＋①221令kx＝l
x－x＋1，则k1＝0，k′x＝－1＜0，x故kx＜0，即l
x＜x－1②3由①②得，当x＞1时，fx＜x－1．29x－12法一：记hx＝fx－，由1得x＋51154h′x＝＋－x2xx＋522＋xx＋5x＋53－216x5454＝－＜－＝2xx＋524xx＋524xx＋52令Gx＝x＋53－216x，则当1＜x＜3时，G′x＝3x＋52－216＜0，因此Gx在13内是减函数．又由G1＝0，得Gx＜0，所以h′x＜0因此hx在13内是减函数．又h1＝0，所以hx＜09x－1于是当1＜x＜3时，fx＜x＋5法二：记hx＝x＋5fx－9x－1，则当1＜x＜3时，由1得h′x＝fx＋x＋5f′x－931＋1－9＜x－1＋x＋52x2x＝13xx－1＋x＋52＋x－18x2x
f＜＝
x113xx－1＋x＋52＋2＋2－18x2x17x2－32x＋25＜04x
因此hx在13内单调递减．又h1＝0，所以hx＜0，9x－1即fx＜x＋5【反思】此题的关键点是转化所证不等式构造新函数，研究其性质．1的证法一是
利用gx的递减性形成不等式gx＜g1．x1证法二又利用了不等式的“同向相加”性，x＜＋，l
x－x－1，得到22x1l
x＋x＜x－1＋＋同样2也采用了类似的证法22热r