数列综合题讲解等差数列与等比数列综合题例题设数列a
的前
项和为S
，且满足S
2a
，
1，2，3，Ⅰ求数列a
的通项公式；Ⅱ若数列b
满足b11，且b
1b
a
，求数列b
的通项公式；Ⅲ设c
3b
，求数列c
的前
项和T
解：Ⅰ∵
1时，a1S1a1a12∴a11∵S
2a
即a
S
2∴a
1S
12两式相减：a
1a
S
1S
0即a
1a
a
10故有2a
1a
∵a
≠0∴
a
11
∈Na
2
11的等比数列a
1
∈N22
所以，数列a
为首项a11，公比为Ⅱ∵b
1b
a
1，2，3，…1∴b
1b
12得b2b111b3b221b4b3221b
b
1
2
2，3，2将这
1个等式相加，得
1111b
b1123
22222
11
11222
11212
1又∵b11，∴b
32
1
1，2，3，…21Ⅲ∵c
3b
2
12101111∴T
2232
1
2
1①222221
11111213而T
223
1
②222222111111①②得：T
2012
12
222222
第1页
f
11
24
1
884
1
T
41222
121884

1，2，3，…2
变式训练已知数列a
中，a02a13a26，且对
≥3时有a
4a
14
a
24
8a
3．（Ⅰ）设数列b
满足b
a
a
1
N，证明数列b
12b
为等比数列，并求数列b
的通项公式；（Ⅱ）记
121
，求数列
a
的前
项和S
（Ⅰ）证明：由条件，得a
a
14a
1
1a
24a
2
2a
3，则a
1
1a
4a
a
14a
1
1a
2．即b
14b
4b
1又b11b20，所以b
12b
2b
2b
1，b22b120．所以b
12b
是首项为2，公比为2的等比数列．
b22b12，所以b
12b
2
1b22b12
．
b
1b
1
．
1222b
11于是
为以首项，－为公差的等差数列．222
两边同除以2
1，可得
所以
b
b11
1得b
2
1
．22
22
（Ⅱ）a
2
a
1
2
1
a
12
1，令c
a
2
，则c
c
1．
c

121c1
121．而c11，
∴a

1212
．
a

121
2
1
2
，
∴S
2132
1
r