拓展题型二次函数综合题拓展一二次函数与线段和差问题12016贺州10分如图，矩形OABC的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为10，8，沿直线OD折叠矩形，使点A正好落在BC上的E处，E点坐标为6，8，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过O，A，E三点．1求此抛物线的解析式；2求AD的长；3点P是抛物线对称轴上的一动点，当△PAD的周长最小时，求点P的坐标．
1
f22016大连12分如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2＋14与y轴相交于点A，点B与点O关于点A对称．
1填空，点B的坐标是________；2过点B的直线y＝kx＋b其中k＜0与x轴相交于点C，过点C作直线l平行于y轴，P是直线l上一点，且PB＝PC求线段PB的长用含k的式子表示，并判断点P是否在抛物线上，说明理由；3在2的条件下，若点C关于直线BP的对称点C′恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点P的坐标．
3抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF＝2，EF＝31求抛物线的解析式；2连接CB交EF于点M，再连接AM交OC于点R，连接AC，求△ACR的周长；3设G4，－5在该抛物线上，P是y轴上一动点，过点P作PH⊥EF于点H，连接AP，GH，问AP＋PH＋HG是否有最小值？如果有，求出点P的坐标；如果没有，请说明理由．
2
f【答案】1．解：1∵四边形OABC是矩形，B10，8，∴A10，0……………………………………………………1分又∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A10，0、E6，8和O0，0，
∴
102a10bc62a6bcc0
8
0
，解得
abc
13
103
0
，
∴抛物线的解析式为y＝－13x2＋130x；………………………3分2由题意可知：AD＝ED，BE＝10－6＝4，AB＝8，………4分设AD为x，则ED＝x，BD＝AB－AD＝8－x，在Rt△BDE中，ED2＝EB2＋BD2，即x2＝42＋8－x2，…………………………………………5分解得x＝5，即AD＝5；……………………………………………………6分3由2可知，D点的坐标是10，5，∴△PAD的周长l＝PA＋PD＋AD＝PA＋PD＋5，…………7分∵抛物线的对称轴是线段OA的垂直平分线，点P是抛物线对称轴上的一动点，∴PO＝PA，∵l＝PA＋PD＋5＝PO＋PD＋5，∴当PO＋PD最小时，△PAD的周长l最小，即当点P移动到直线OD与抛物线对称轴的交点处时PO＋PD最小，………………………………………………………………8分设直线OD的解析式为y＝kx，将D点坐标10，5代入得：
5＝10k，解得k＝r