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面积类
1．如图，已知抛物线经过点A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．
考点：二次函数综合题．专题：压轴题；数形结合．分析：（1）已知了抛物线上的三个点的坐标，直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式，已知点M的横坐标，代入直线BC、抛物线的解析式中，可得到M、N点的坐标，N、M纵坐标的差的绝对值即为MN的长．（3）设MN交x轴于D，那么△BNC的面积可表示为：S△BNCS△MNCS△MNBMN（ODDB）MNOB，MN的表达式在（2）中已求得，OB的长易知，由此列出关于S△BNC、m的函数关系式，根据函数的性质即可判断出△BNC是否具有最大值．解答：解：（1）设抛物线的解析式为：ya（x1）（x3），则：a（01）（03）3，a1；∴抛物线的解析式：y（x1）（x3）x22x3．（2）设直线BC的解析式为：ykxb，则有：
，
解得
；
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故直线BC的解析式：yx3．已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，m3）、N（m，m22m3）；∴故MNm22m3（m3）m23m（0＜m＜3）．（3）如图；∵S△BNCS△MNCS△MNBMN（ODDB）MNOB，∴S△BNC（m23m）3（m）2（0＜m＜3）；∴当m时，△BNC的面积最大，最大值为．
2．如图，抛物线
的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C
点，已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．
考点：二次函数综合题．专题：压轴题；转化思想．分析：（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将B点坐标代入解析式中即可．（2）首先根据抛物线的解析式确定A点坐标，然后通过证明△ABC是直角三角形来推导出直径AB和圆心的位置，由此确定圆心坐标．
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（3）△MBC的面积可由S△MBCBC×h表示，若要它的面积最大，需要使h取最大值，即点M到直线BC的距离最大，若设一条平行于BC的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时，该交点就是点M．解答：解：（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得：016a×42，即：a；∴抛物线r