矩阵论试题2005级硕士试题矩阵论试题2005级硕士试题
一、10分设函数矩阵
si
tAtcostcostsi
t
求：∫0Atdt和∫0Atdt。
tt2
tsi
tdt解：∫0Atdt∫0t∫costdt0
t
∫costdt1costsi
tdtsi
t∫
t0t0
si
t1cost
∫0
t2
si
t2AtdtAt2t2tcost2

2
cost2si
t2
二、15分在R3中线性变换σ将基
101α11，α22，α30111
变为基
100β11，β21，β33012
1求σ在基α1α2α3下的矩阵表示A；2求向量ξ123T及σξ在基α1α2α3下的坐标；3求向量ξ123T及σξ在基β1β2β3下的坐标。
1
f解：1不难求得：
σα1β1α1α2
σα2β2α1α2α3σα3β3α12α2α3
因此σ在α1α2α3下矩阵表示为
111A112011k12设ξα1α2α3k2，即k31101k120k2213111k3
解之得：k110
k24
k39
所以ξ在α1α2α3下坐标为1049T。
σξ在α1α2α3下坐标可得
y111110232432y211y0119133
3ξ在基β1β2β3下坐标为
2
f01101101A4111415911096
1
σξ在基β1β2β3下坐标为
012310231A3211132413110139
1
002三、20分设A010，求eAt。103
解：容易算得
λλIAλ12λ2
mλλ1λ2
由于mλ是2次多项式，且λ11λ22，故gλ是1次多项式，设
gλa0a1λ
由于fλer