直线一级倒立摆建模与性能分析
f直线一级倒立摆建模及性能分析
一、数学模型建立
在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图1所示。u为外界作用力；x为小车位移；为摆杆与铅垂方向的夹角；O、G分别为摆杆与小车的链接点、摆杆质心的位置；M为小车的质量；m为摆杆的质量；J为摆杆绕G的转动惯量；l为O到摆杆质心的距离L为摆杆的长度；f0为小车与导轨间的滑动摩擦系数，f1为摆杆绕O转动的摩擦阻力矩系数。

摆杆

小
x
l
F
车导轨
对于上图的物理模型我们做以下假设：M：小车质量m：摆杆质量b：小车摩擦系数l：摆杆转动轴心到杆质心的长度I：摆杆惯量F：加在小车上的力x：小车位置：摆杆与垂直向上方向的夹角
fθ：摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）
其机械部分遵守牛顿运动定律，其电子部分遵守电磁学的基本定律。因此可以通过机理建模得到系统较为精确的数学模型。
应用牛顿力学来建立系统的动力学方程过程如下：分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：
MxFbxN由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：
N

m
d2dt2
x
lsi

即：Nmxmlcosml2si

把这个等式代入上式中，就得到系统的第一个运动方程：Mmxbxmlcosml2si
F
（11）
为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：
P

mg

m
d2dt2
l
cos
即：Pmgmlsi
ml2cos
力矩平衡方程如下：Plsi
NlcosI
注意：此方程中力矩的方向，由于coscossi
si
，故等式前面有负号。
合并这两个方程，约去P和N，得到第二个运动方程：
Iml2mglsi
mlxcos
（12）
11微分方程模型
设，当摆杆与垂直向上方向之间的夹角与1（单位是弧度）相比
f很小，即
1
时，则可以进行近似处理：cos1，si



，
ddt
2

0。
为了与控制理论的表达习惯相统一，即u一般表示控制量，用u来代表被控对象
的输入力F，线性化后得到该系统数学模型的微分方程表达式：
Iml2mglmlx
M

mx
bx

ml

u
13
12传递函数模型对方程组（13）进行拉普拉斯变换，得到
Iml2ss2mglsmlXss2
M

mXss2
bXss

mlss2
Us
（14）
注意：推导传递函数时假设初始条件为0。
由于输出为角度，求解方程组（14）的第一个方程，可以得到
XsIml2gs
ml
s2
把上式代入方程组（14）的第二个方程，得到
M
mI
ml2ml

gs

ss
2
r