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关于抽样分布定理的一个证明
作者：马朝忠邓西云张岩来源：《科教导刊》2018年第03期
摘要利用实称矩阵的性质，根据化二次型为对标准形方法，采用代数中正交变换的方法对概率论与数理统计中的一个抽样分布定理进行了重新证明，并说明了每一步产生的理论依据和思想来源，使得这个定理的证明思路更加清楚，更易于接受。关键词实对称阵二次型标准形抽样分布中图分类号：O211文献标识码：ADOI：1016400jc
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抽样分布在概率论与推断统计中具有承上启下的作用，一方面，它把的抽象的概率理论实用化，成为一种可以应用风险推断的方法；另一方面，它是推断统计的重要理论基础，使风险推断具有科学的理论依据。同时，在数理统计教学中，抽样分布定理也是区间估计和假设检验等统计推断技术的理论根据。因此，厘清抽样分布定理的证明思想和证明方法对于加深理解、增强记忆都有很大的帮助。对于抽样分布定理，文献1和2都不同程度对给出了证明，但是在文献1中，主要讨论了期望为0的情况，文献2则对正交化、单位化等方法的来源未作说明，同时，二者都是直接说可以通过一个正交变换来进行证明，而把正交变换是如何得到的这一关键环节省略了，导致定理的证明不易理解。针对这一问题，本文利用实称矩阵的性质，根据化二次型为对标准形方法，采用代数中正交变换的方法对概率论与数理统计中的一个抽样分布定理进行了重新证明，
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并说明了每一步产生的理论依据和思想来源，使得这个定理的证明思路更加清楚，更易于接受。定理：设是来自总体的样本，分别是样本均值和样本方差，则有（1）；（2）与相互独立。思路：由，根据分布的定义，就是考察是否可以分解为个标准正态分布的平方和，据此，对进行分解。证明：设，则。由（6）式知，是关于的二次型。由于矩阵A为实对称r