2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数学（理科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
（1）【2013年湖南，理1，5分】复数zi1ii为虚数单位在复平面上对应的点位于（）
（A）第一象限【答案】B
（B）第二象限
（C）第三象限
（D）第四象限
【解析】zii21i，对应点为11，故在第二象限，故选B．
【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属基础题．
（2）【2013年湖南，理2，5分】某学校有男、女学生各500名．为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是
否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（）
（A）抽签法
（B）随机数法
（C）系统抽样法
（D）分层抽样法
【答案】D
【解析】总体由男生和女生组成，比例为50050011，所抽取的比例也是11．故拟从全体学生中抽取100名学
生进行调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样法，故选D．【点评】本小题主要考查抽样方法，属基本题．
（3）【2013年湖南，理3，5分】在锐角中ABC，角A，B所对的边长分别为ab．若2asi
B3b，则角A等于（）
（A）12
【答案】D
（B）6
（C）4
（D）3
【解析】∵在ABC中，2asi
B3b，∴由正弦定理ab2R得：2si
Asi
Bsi
Asi
B
又ABC为锐角三角形，∴A，故选D．3
【点评】本题考查正弦定理，将“边”化所对“角”的正弦是关键，属于基础题．
3si
B，∴si
A3，2
y2x
（4）【2013
年湖南，理
4，5
分】若变量
x
y
满足约束条件

x

y

1，则
x

2
y
的最大值是（
）
y1
（A）52
【答案】B
（B）0
（C）53
（D）52
【解析】约束条件表示的可行域为如图阴影部分．令x2yd，即y1xd，由线性规22
划知识可得最优点为

13

23
，所以
dmax

13

43

53
，故选
B．
【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和
简单的线性规划等知识，属于基础题．
（5）【2013年湖南，理5，5分】函数fx2l
x的图像与函数gxx24x5的图像的交点个数为（）
（A）3【答案】B【解析】解法一：
（B）2
（C）1
（D）0
设fx与gx图象的交点坐标为x，y，则y2l
x，yx24x5，联立得2l
xx24x5，
令
h

x

x2

4x

5

2l
xx

0
，由
hx

2x

4

2x

0
得
x1

1

2，x21
2舍．
当hx0，即x012时，hx单调递减；当hx0，即x12时，hx单调递增．
又∵hr