六年级奥数总复习2教师版
第九讲复杂抽屉原理
典型问题1．从1，2，3，…，1988，1989这些自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的差不等于4？【分析与解】1，2，3，4，9，10，1l，12，17，18，19，20，25，…，这些数中任何两个数的差都不为4，这些数是每8个连续的数中选取前4个连续的数．有1989÷8248……5，所以最多可以选248×44996个数．评注：对于这类问题，一种方法是先尽可能的多选择，然后再找出这些数的规律，再计算出最多可以选出多少个2．从1至1993这1993个自然数中最多能取出多少个数，使得其中任意的两数都不连续且差不等于4？【分析与解】1，3，6，8，11，13，16，18，21，…，这些数中任何两个数不连续且差不等于4，这些数是每5个连续的数中选择第1、3个数．1993÷5398……3所以最多可以选398×22798个数．评注：当然还可以是1，4，6，9，11，14，16，19，21，…，这些数满足条件，是每5个连续的数中选择第1、4个数．但是此时最多只能选出398×2l797个数．3从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12中最多能选出几个数，使得在选出的数中，每一个数都不是另一个数的2倍【分析与解】方法一：直接从1开始选1，3，4，5，7，9，11，12，这样可以选出8个数；而从2开始选2，3，5，7，8，9，11，12，这样也是可以选出8个数．3包含在组内，因此只用考虑这两种情况即可．所以，在满足题意情况下，最多可以选出8个数．方法二：我们知道选多少个奇数均满足，有1，3，5，7，9，11均为奇数，并且有偶数中4的倍数，但不是8的倍数的也满足，有4，12是这样的数．所以，在满足题意情况下最多可以选出8个数．4．从1，3，5，7，…，97，99中最多可以选出多少个数，使得选出的数中，每一个数都不是另一个数的倍数【分析与解】方法一：因为均是奇数，所以如果存在倍数关系，那么也一定是3、5、7等奇数倍3×33：99，于是从35开始，199的奇数中没有一个是35～99的奇数倍不包括1倍，所以选出35，37，39，…，99这些奇数即可．共可选出33个数，使得选出的数中，每一个数都不是另一个数的倍数．方法二：利用3的若干次幂与质数的乘积对这50个奇数分组．1，3，9，27，81，5，15，45，7，21，63，11，33，13，39，17，51，19，57，23，69，25，75，29，87，31，93，35，37，41，43，…，97共33组．前11组，每组内任意两个数都存在倍数关系，所以每组内最多只能选择一个数．即最多可以选出33个数，使得选出的数中，每一个数都不是另一个r