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单调性法
求函数值域时,如果能够先判断函数的单调性,则会对求解带来很大的帮助,同学们要对函数的单调性比较敏感,在做题前先问问自己,能不能判断所求函数的单调性?有没有什么方法去帮助我们做出判断?今天我们就带着这些方法,来学习单调性法求函数值域。
先看例题:
1求函数yx1x4的值域当x4时,y2x3为减函数,所以y2435当4x1时,y5当x1时,y2x3为增函数,所以y2135所以,函数的值域为y5
2求函数yx12x的值域
先看定义域,x12
可以将函数看成两个函数的和,即yx与y12x的组合
我们发现,两个函数都是单调递增,所以原函数也是单调递增。
所以在2时,原函数最大值为y11211
2
22
所以函数的值域为y12
注意:两个单调递增的函数和为单调递增,但乘积不一定是单调递增的。
3函数fxx24xx2x26的值域为______
(注意到如果用换元的方法,最后自变量的次数会很高,不利于求解)所以,我们考虑将它们看成两个函数的和,分别考虑
fyx24x与yx2观察到两个函数在定义域x26上都是递增的,
所以原函数在定义域内也是单调递增的。
所以4f2fxf614所以函数的值域为y414
总结:如果我们可以判断函数的单调性,那么求函数值域会变得比较容易,只需要考虑端点值。注意到,两个递增函数,和也是递增函数。利用这一性质,可以帮助我们判断一类函数
的单调性。注意函数的定义域,有些函数在R上可能并不单调,但在某一个特定区间内,可能是单
调的,合理的使用这些区间,可以给我们解题提供帮助。
练习:
1求函数yxl
x1xe5的值域x
2求函数x1xx2x25的值域
答案:
1观察到:yx,在定义域内单调递增yl
x,在定义域内单调递增
y1,在定义域内单调递增x
所以原函数在定义域内单调递增,所以
e11fefxf551l
5
e
5
所以函数的值域为ye2e1245l
5
e
5
f2观察到yx1在定义域内单调递增,
yx2x,对称轴为x1,在定义域内单调递增2
所以原函数在定义域内单调递增,所以3f2fxf522
所以原函数值域为y322
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