第九章
1计算下列二重积分1计算闭区域
练习题
∫∫
D
1x2y2dxdy其中D是由x2y21及坐标轴所围成的在第一象限内的1x2y2
解1根据积分区域的特点选用极坐标因为Drθ0≤r≤10≤θ≤
π211r1r2rdrdθ∫2dθ∫rdr001r21r2
11r2π1rr3rdr∫dr∫dr201r201r41r4

π
故2
原式
∫∫
D

π
2∫0
1

π1
π1
2
11111dr2∫d1r4∫022401r41r4

2
12142arcsi
r021r2
y2
π1π208
∫∫xe
D
dxdy其中D是以001101为顶点的三角形
1
解原式
∫
0
dy∫x2eydx∫ey
2
y
1
2
0
0
y3112y22dy∫eydy3203

3
111tt11111edt∫tdettet1∫etdte1e110∫030026666
∫∫
D
2si
xdxdy其中D是由直线yx及抛物线yx所围成的区域x
解原式
∫
x1si
xdx∫2dy∫si
xxsi
xdx0x0x1
cosxxcosxsi
x1si
110
4∫∫xydxdy其中D为xy≤1
D
解
D1xy0≤x≤10≤y≤1x由对称性
原式4
∫∫xydxdy4∫∫xdxdy4∫∫ydxdy8∫0xdx∫0
1
D1D1D1
1x
x2x34dy810323
2证明
∫
a
0
dy∫emaxfxdx
y0
∫axe
a0
max
fxdx
1
f证上式左端的二次积分等于二重积分交换积分次序即得
∫∫e
D
max
fxdxdy∫dx∫e
aa0x
max
fxdy∫axe
a0
max
fxdx
3设函数fx在01上连续并设∫fxdxA
10
求
∫
1
0
dx∫fxfydy
1x
解设gx
∫fxdx则g00g1A所以
x01y001
∫
1
0
dx∫fxfydy∫fydy∫fxdx
1x1
∫fygyg0dy∫fygydy00
∫gydgy
10
g2y1g21g20A20222
aaz所夹部分的面积24
22
4求球面x2y2z2a2a0被平面z
222
azz解上半球方程为zaxy故12xyax2y2
315Dxya2≤x2y2≤a2利用极坐标求解416
S∫∫
D
aa2r2
2
rdrdθa∫dθ∫
0
2π
15a43a2
rdr2πaa2r222ar
1
15a43a2

πa2
2

5计算下列三重积分1
∫∫∫z

dxdydz其中是两球面x2y2z2≤R2和x2y2z2≤2RzR0的公共部分
RR于是用平面z把分成22
解由x2y2z2R2和x2y2z22Rz解得z
R1和2两部分其中1xyzx2y2≤2Rzz20≤z≤2R2xyzx2y2≤R2z2≤z≤R2
于是原r