满分16分在在六条棱长分别为2，3，3，4，5，5的所有四面体中，最大体积是多少？证明你的结论．
5．本题满分18分函数Fxcos2x2si
xcosx－si
2xAxB3在0≤x≤π上的最大值M与参数A、B有关，问A、B取什么值时，2M为最小？证明你的结论．
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f1983年全国高中数学联赛
冯惠愚
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冯惠愚
1983年全国高中数学联赛解答第一试1．选择题本题满分32分，每题答对者得4分，答错者得0分，不答得1分⑴设p、q是自然数，条件甲：p3－q3是偶数；条件乙：pq是偶数．那么A．甲是乙的充分而非必要条件而非充分条件C．甲是乙的充要条件充分条件，也不是乙的必要条件解：p3－q3p－qp2pqq2．又pqp－q2q，故pq与p－q的奇偶性相同．∴pq为偶数，p－q为偶数，p3－q3为偶数．pq为奇数，p、q一奇一偶，p3－q3为奇数．故选C．⑵x的值是属于区间1111loglog2353B．1，2C．－3，－211D．甲既不是乙的B．甲是乙的必要
A．－2，－1D．2，3
解：xlog32log35log310∈2，3，选D．⑶已知等腰三角形ABC的底边BC及高AD的长都是整数，那么，si
A和cosA中A．一个是有理数，另一个是无理数C．两个都是无理数
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B．两个都是有理数D．是有理数还是无
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理数要根据BC和AD的数值来确定A解：ta
为有理数，si
A、cosA都是有理数．选B．2⑷已知Mx，yy≥x2，Nx，yx2y－a2≤1．那么，使M∩NN成立的充要条件是A．a≥1D．0a1解：M∩NN的充要条件是圆x2y－a2≤1在抛物线yx2内部上方．即a≥1，且方程y2－2a－1ya2－10的△2a－12－4a2－1≤0，a1≥1，选A．4⑸已知函数fxax2－c，满足－4≤f1≤－1，－1≤f2≤5．那么，f3应满足A．7≤f3≤262835≤f3≤33解：f1a－c，f24a－c，f39a－c．令9a－cλa－cμ4a－c，5858∴λ4μ9，λμ1．∴λ－，μ．即f3－f1f2．333355408840但≤－f1≤，－≤f2≤，333333B．－4≤f3≤15C．－1≤f3≤20D．－14B．a114C．a≥1
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58∴－1≤－f1f2≤20．选C．33⑹设a，b，c，d，m，
都是正实数，Pabcd，Qma
cA．P≥QC．PQ确定，而与m，
的大小有关．解：由柯西不等式，Q≥P．选B．⑺在正方形ABCD所在平面上有点P，使△PAB、△PBC、△PCD、△PDA都是等腰三角形，那么具有这样性质的点P的个数有A．9个个解：如图，以正方形的顶点为圆心，边长为半径作4个圆，其8个r