§32导数与函数的单调性、极值、最值
考纲展示单调区间．2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值；会求闭区间上函数的最大值、最小值．3．会用导数解决实际问题．考点1利用导数研究函数的单调性1了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求函数的导数符号与单调性．已知函数fx＝x3－ax2＋ax是R上的增函数，则实数a的取值范围为__________．答案：03解析：依题意，f′x＝3x2－2ax＋a≥0恒成立，所以Δ＝4a2－12a≤0，解得0≤a≤3
1a典题1设函数fx＝x3－x2＋bx＋c，曲线y＝fx在点0，f0处的切线方程为y＝1321求b，c的值；2求函数fx的单调区间；3设函数gx＝fx＋2x，且gx在区间－2，－1内为单调递减函数，求实数a的取值范函数的单调性与导数在a，b内的可导函数fx，f′x在a，b任意子区间内都不恒等于0f′x≥0fx在a，b上为________．f′x≤0fx在a，b上为________．答案：增函数减函数围．解1f′x＝x2－ax＋b，
f0＝1，c＝1，由题意得即f′0＝0b＝0
2由1，得f′x＝x2－ax＝xx－a．①当a＝0时，f′x＝x2≥0恒成立，即函数fx在－∞，＋∞内为单调增函数．②当a0时，由f′x0得，xa或x0；由f′x0得，0xa
x
1教材习题改编函数fx＝e－2x的单调递增区间是________．答案：l
2，＋∞2教材习题改编求fx＝x＋cosx，x∈R的单调区间．解：f′x＝1－si
x≥0，所以fx在－∞，＋∞上单调递增，即－∞，＋∞是fx的单调递增区间．
即函数fx的单调递增区间为－∞，0，a，＋∞，单调递减区间为0，a．③当a0时，由f′x0得，x0或xa；由f′x0得，ax0即函数fx的单调递增区间为－∞，a，0，＋∞，单调递减区间为a0．3∵g′x＝f′x＋2＝x2－ax＋2，且gx在－2，－1上为减函数，∴g′x≤0，即x2－ax＋2≤0在－2，－1上恒成立，
1
fg′－2≤0，4＋2a＋2≤0，∴即g′－1≤0，1＋a＋2≤0，
解得a≤－3，即实数a的取值范围为－∞，－3．题点发散1在本例3中，若gx的单调减区间为－2，－1，如何求解？解：∵gx的单调减区间为－2，－1，∴x1＝－2，x2＝－1是g′x＝0的两个根，∴－2＋－1＝a，即a＝－3题点发散2在本例3中，若gx在区间－2，－1上存在单调递减区间，如何求解？解：g′x＝x－ax＋2，依题意，存在x∈－2，－1，使不等式g′x＝x－axr