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函数高考综合题（含答案）
（21）（本小题满分12分）
设函数fxe2xal
x。
（Ⅰ）讨论fx的导函数fx零点的个数；（Ⅱ）证明：当a0时，fx2aal
2。
a
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21（本小题满分14分）设a为实数，函数fxxa2xaaa1
（1）若f01，求a的取值范围；（2）讨论fx的单调性；（3）当a2时，讨论fx4在区间0内的零点个数
xf0a2aaa1）a2aa2a
aa
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若a0即：2a1a12
0a12
若a0即：aa1aR
a0
综上所述：a12
（2）
f
x

x

a2

x

a

aa
1
xa
xa2xaaa1xa
f
x

x2

1
2ax
xa
x212ax2axa
对称轴分别为：x12aa1a
2
2
∴在区间a上单调递减，在区间（a）上单调递增
（3）由（2）得fx在a上单调递增，在0a上单调递减，所以fxmi
faaa2
①当a2时，
fxmi


f2）2，
fx

x23x，x2
x
2

5x

4，x

2
当fx40时，即fx4x0
x
x
因为fx在02上单调递减，所以fxf22
令gx4，则gx为单调递增函数，所以在区间（0，2）上，gxg22，x
所以函数fx与gx在（0，2）无交点
当x2时，令fxx23x4，化简得x33x240，即x22x10，则
x解得x2
综上所述，当a2时，fx）4在区间0有一个零点x2
x
②当a2时，fxmi
faaa2，
当x0a时，f02a4，faaa20，
而gx4为单调递增函数，且当x0a时，gx40
x
x
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故判断函数fx与gx是否有交点，需判断faaa2与ga4的大小a
因为aa24a3a24a2a2a20
a
a
a
所以faaa24即faga）a
所以，当x0a时，fx与gx有一个交点；
当xa时，fx与gx均为单调递增函数，而gx40恒成立x
而令x2a时，f2aa2aaa12a0，则此时，有f2ag2a，
所以当xa时，fx与gx有一个交点；
故当a2时，yfx与gx4有两个交点x
综上r