函数，∴fx≥f0＝0，
∴当a≤21时满足条件．
②当2a1时，令h′x＝0，解得x＝l
2a，在0，l
2a上，h′x0，hx单调
递减，∴当x∈0，l
2a时，有hxh0＝0，即f′xf′0＝0，
∴fx在区间0，l
2a上为减函数，
∴fxf0＝0，不合题意．
综上，实数a的取值范围为－∞，123证明：由2得，当a＝12，x0时，ex－1x＋x22，
欲证不等式ex－1l
x＋1x2，只需证l
x＋1x2＋x2
设Fx＝l
x＋1－x2＋x2，
则F′x＝x＋11－
4x＋2
2＝
x2x＋1x＋2
2
∵当x0时，F′x0恒成立，且F0＝0，
∴Fx0恒成立．
∴原不等式得证．
4．2017天津高考设a，b∈R，a≤1已知函数fx＝x3－6x2－3aa－4x＋b，
gx＝exfx．
1求fx的单调区间；
2已知函数y＝gx和y＝ex的图象在公共点x0，y0处有相同的切线，①求证：fx在x＝x0处的导数等于0；②若关于x的不等式gx≤ex在区间x0－1，x0＋1上恒成立，求b的取值范围．解：1由fx＝x3－6x2－3aa－4x＋b，
可得f′x＝3x2－12x－3aa－4＝3x－ax－4－a．
令f′x＝0，解得x＝a，或x＝4－a
由a≤1，得a＜4－a
当x变化时，f′x，fx的变化情况如下表：
x
－∞，a
a4－a
4－a，＋∞
f′x
＋
－
＋
fx
所以fx的单调递增区间为－∞，a，4－a，＋∞，单调递减区间为a4－a．
f2①证明：因为g′x＝exfx＋f′x，由题意知gx0＝ex0，
g′x0＝ex0，
所以fx0ex0＝ex0，ex0fx0＋f′x0＝ex0，
解得fx0＝1，f′x0＝0
所以fx在x＝x0处的导数等于0②因为gx≤ex，x∈x0－1，x0＋1，由ex＞0，可得fx≤1又因为fx0＝1，f′x0＝0，所以x0为fx的极大值点，结合1知x0＝a另一方面，由于a≤1，故a＋1＜4－a，由1知fx在a－1，a内单调递增，在a，a＋1内单调递减，故当x0＝a时，fx≤fa＝1在a－1，a＋1上恒成立，从而gx≤ex在x0－1，x0＋1上恒成立．由fa＝a3－6a2－3aa－4a＋b＝1，得b＝2a3－6a2＋1，－1≤a≤1令tx＝2x3－6x2＋1，x∈－11，所以t′x＝6x2－12x，令t′x＝0，解得x＝2舍去或x＝0因为t－1＝－7，t1＝－3，t0＝1，因此tx的值域为－71．所以b的取值范围是－71．
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