【知识要点】证明数列不等式常用的有数学归纳法、放缩法和分析法
一、数学归纳法一般地，证明一个与自然数
有关的命题P
，有如下步骤：
（1）证明当
取第一个值
0时命题成立
0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况；（2）假设当
k（k
0，k为自然数）时命题成立，证明当
k1时命题也成立
综合（1）（2），对一切自然数
（
0），命题P
都成立
二、放缩法证明不等式时，有时根据需要把需证明的不等式的值适当放大或缩小，使其化繁为简，化难为易，达
到证明的目的，这种方法称为放缩法放缩的技巧：
①添加或舍去一些项，如：a21a
1
21

②将分子或分母放大或缩小，如：11111111k2kk1k1kk2kk1kk1
③利用基本不等式等，如：
1
12
三、分析法
证明不等式时，从待证命题出发，分析使其成立的充分条件，利用已知的一些基本原理，逐步探索，
最后将命题成立的条件归结为一个已经证明过的定理、简单事实或题设的条件，这种证明的方法称为分析
法，它是执果索因的方法
用分析法证明时，要注意格式，一般格式是“要证明，只需证明……”
一般用分析法寻找思路，用综合法写出证明过程
【方法点评】
方法一
数学归纳法
解题步骤
一般按照数学归纳法的“两步一结论”步骤来证明
【例1】用数学归纳法证明
f111113
2
N

1
2
3
2
24
【点评】利用数学归纳法证明不等式时，关键在于第二步，证明这一步时，一定要利用前面的假设和已知条件
【反馈检测1】已知x1
a0a1x1a2x12a
x1
，（其中
N）（1）求a0及s
a1a2a
；（2）试比较s
与
22
2
2的大小，并说明理由．
方法二
放缩法
解题步骤
一般放缩数列通项，或放缩求和的结果
【例2】已知函数fxaxl
1x2
（1）当a4时，求函数fx在0上的极值；5
（2）证明：当x0时，l
1x2x；
（3）证明：1111
24
34
11e
4

N
2e为自然对数的底数）
f（2）令gxxl
1x2
则
g


x

1

1
2xx
2

x121x2
0
gx在0，上为增函数gxg00
l
1x2x
（3）由（2）知l
1x2x
令x

1
4
得，l
1
1
4
1
2

1
1

11
1

l
1
124


l
1
134



l
1

1
r