2d：


xt
1
im2x
e2t
2m
2
it
写出共轭函数（前一式i变号）：
fxt
1
imx2
e2t
2m
2
it
xt2

122
2mt

m2t
本题也可以用Fres
el积分表示，为此可将（6）式积分改为：

cos
tpmx2dpisi

tpmx2dp

2m
t

2m
t
xt
用课本公式得
xt

12
1
i
m
e
imx22t
，两者相乘，可得相同的结果。
t
22设一维自由粒子的初态x0x，求xt2。


提示：利用积分公式cos2dsi
2d2



或
expi2dexpi4。

解：作Fourier变换：x0
1

peipxdp，
2
p
1

x0eipxdx
1

xeipxdx
1
，
2
2
2

xt
1

peipxEtdp
2
（Ep22m）

1
edp

i

p22m
t

px

2

12
eimx2
2texp

it2m

p
mxt

2

dp

令
2
t2m

p

mt
x
2
，则
xt1eimx22t
2
2m

ei2d

1
t
2
2meimx22tei4t
m2t
expi
mx22t

4

xt2m。
2t
f23设一维自由粒子初态为x0，证明在足够长时间后xt
mexpi
t
4
exp
imx22t



mxt

式中k
1

x0eikxdx是x0的Fourier变换。提示：利用lim
eei4ix2x。
2

证：根据平面波的时间变化规律
eikxeikxt，
Ek22m，
任意时刻的波函数为
xt1


k
edkikxk2t2m
2

12
eimx22t

dk
k
exp

i
t2m

k

mxt
2


（1）
当时间足够长后（所谓t），上式被积函数中的指数函数具有函数的性质，取
t
2m
，
u


k

mxt

，
参照本题的解题提示，即得
xt
1eimx22t2
2mt
er