高等数学竞赛模拟试题（高等数学竞赛模拟试题（七）
学号题号得分一二三四五姓名六总分
填空题（一、填空题（每小题5分，共50分）1．
∑
2
1
1
∞
1
。
2．函数fxl
2xx2关于x的幂级数展开式为该幂级数的收敛域为。
，
3．设函数fx在01上连续，且fx0，则极限
12
1lim
ffLff1＝
→∞

4．曲线l
xl
y1所围图形的面积为
。
。
5．fxyz为连续函数，Σ为平面xyz50在第三卦限部分的上侧，则曲面积分
∫∫2fxyzxdydzfxyzydzdx3fxyzzdxdy
Σ
。
6．
xydx2dy＝2xy2xy22x2y24
∫
2
。
7．幂级数
∑si
x
1
∞


的收敛域为
。
8．α为正常数，使得不等式l
x≤x对任意的正数x成立，则α的最小值为
α
。
9．设lim则a＝
ta
ta
xsi
si
xbta
xsi
xa10且b≠0x→0xa
，b＝。。
∞a11a
f
0则级数∑
1＝2
1xx
0a
a
2
10．函数fx
f（每二、每小题6分，共18分）（1．设fx具有二阶连续导数，且f′′00f0f′00t是曲线yfx上点
xfx处的切线在x轴的截距，求lim
x→0
xft。tfx
2．证明：
∫
π
0
xasi
xdx∫2acosxdx≥
0
π
π3
4
a0为常数）。
3．计算曲面积分I
∫∫
S
xdydzydzdxzdxdyx2y2z2
32
，其中S是
＋
zx22y121－z≥0的上侧。72516
f三．分）设a
（7结论。
∫
π
40
ta
xdx对任意的参数λ，讨论级数∑
a
的敛散性，并证明你的λ
1

∞
四．分）证明：（7
∫
10
xxdx∑
。
1
∞
f五．分）求下列曲面：xyczxy±axy±b和平面z0围成的区域（9
222222
的体积（其中abc为正实数）。
六．分）设a1a2La
为
个不同的实数，函数fx在a1a
上有
阶导数，（9则对每个c∈a1a
，都相应存在着ξ∈a1a
并满足fa1fa2Lfa
0，满足等式fc
ca1ca2Lca
fξ。

fr