第七章微分方程
第37次微分方程的概念分离变量法
一、指出下列微分方程的阶数，并验证括号中的函数是否为微分方程的解，若是解，说明该解是通解还是特解：1．xy3y0yCx3解一阶
y3Cx4xy3yx3Cx43Cx30，
所以yCx3为微分方程的解
又yCx3中只含有一个任意常数，故其为通解．2．kxdxdy0y解一阶
12kx2
dykxdxkxdxdykxdxkxdx0，
又y所以y
12kx为微分方程的解2
12kx中不含有任意常数，故其为特解．2
3．yy0yCsi
x解二阶
yCcosx，yCsi
xyyCsi
xCsi
x0，
所以yCsi
x为微分方程的解
又yCsi
x中只含有一个任意常数，故其既不是通解，也不是特解．4．y2yy0yxe
2x
解二阶
y2xexx2ex，y2xexx2ex2ex2xex2xexx2ex2ex4xexx2ex
y2yy2ex4xexx2ex22xexx2exx2ex2ex0，
所以yxe不是微分方程的解
2x
二、求下列微分方程的通解：
f1．xy2xdx1x2dy0解
1y
dy
2

xdx1x2
l
x21C
1arctay
2
2．exyexdxexyeydy0
eyexdyxdx解ye1e1
l
ey1l
ex1l
C
即ey1ex1C3．
dy2xyxdx
解
2y1xdx
211Cex1l
2y1x2C2y1Cexy2222
dy
4．ysi
xyl
y
解
yl
ycscxdx
l
l
yl
cscxcotxl
C
l
yCcsxccoxt
dy
三、求下列微分方程满足初始条件的特解：1．ye解
5x2y
y00
e
2y
dye5xdx
12y15xeeC253又y00，C1012y15x3微分方程的特解：ee2510
f2．
dy1y2ta
xy02dx
解
1y
dy
2
ta
xdx
11y1yl
l
secxl
CCsec2x21y1y
又y02，C3
微分方程的特解：
1y3sec2x1y
四、镭的衰变有如下的规律：镭的衰变速度与它的现存量R成正比由经验材料得知，经过1600年后，只剩原始量R0的一半试求镭的现存量R与时间t的关系解
dRRdtdRRdt
l
Rtl
CRCet
又R0R0，CR0；所以RR0et又R1600
l
2tR0Rl
21600，0R0e，所以；故RR0e1600221600
第38次
变量代换法
一r