数列与不等式的题型分类解题策略
题型一求有数列参与的不等式恒成立条件下参数问题
求得数列与不等式结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略：1若函数fx在定义域
为D，则当x∈D时，有fx≥M恒成立fxmi
≥M；fx≤M恒成立fxmax≤M；2利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式，再通过解不等式解得
【例1】等比数列a
的公比q＞1，第17项的平方等于第24项，求使a1＋a2＋…＋a
＞a11＋a12＋…＋a1
恒成立的正整数
的取值范围
【分析】利用条件中两项间的关系，寻求数列首项a1与公比q之间的关系，再利用等比数列前
项公式和及所得的关系化简不等式，进而通过估算求得正整数
的取值范围
【解】由题意得：a1q162＝a1q23，∴a1q9＝1
由等比数列的性质知：数列a1
是以a11为首项，以1q为公比的等比数列，要使不等式成立，则须a1qq－
－11＞a1111－－1q1q
，把a12＝q18代入上式并整理，得q18q
－1＞q1－q1
，
q
＞q19，∵q＞1，∴
＞19，故所求正整数
的取值范围是
≥20
【点评】本题解答数列与不等式两方面的知识都用到了，主要体现为用数列知识化简，
用不等式知识求得最后的结果本题解答体现了转化思想、方程思想及估算思想的应用
【例2】（08全国Ⅱ）设数列a
的前
项和为S
．已知a1＝a，a
1＝S
＋3
，
∈N．Ⅰ
设b
＝S
－3
，求数列b
的通项公式；（Ⅱ）若a
1≥a
，
∈N，求a的取值范围．
【分析】第（Ⅰ）小题利用S
与a
的关系可求得数列的通项公式；第（Ⅱ）小题将
条件a
1≥a
转化为关于
与a的关系，再利用a≤f
恒成立等价于a≤f
mi
求解．
【解】Ⅰ依题意，S
1－S
＝a
1＝S
＋3
，即S
1＝2S
＋3
，
由此得S
1－3
1＝2S
－3
．
因此，所求通项公式为b
＝S
－3
＝a－32
1，
∈N
①
Ⅱ由①知S
＝3
＋a－32
1，
∈N，
于是，当
≥2时，a
＝S
－S
1＝3
＋a－32
1－3
1－a－32
2＝2×3
1＋a－32
2，
a
1－a
＝4×3
1＋a－32
2＝2
21232
2＋a－3，
当
≥2时，a
1≥a
，即2
21232
2＋a－3≥0，1232
2＋a－3≥0，∴a≥－9，综上，所求的a的取值范围是－9，＋∞．
【点评】一般地，如果求条件与前
项和相关的数列的通项公式，则可考虑S
与a
的关系求解本题求参数取值范围的方法也一种常用的方法，应当引起重视
题型二数列参与的不等式的证明问题
此类不等式的证明常用的方法：1比较法，特别是差值比较法是最根本的方法；2分析
法与综合法，一般是利用分析法分析，再利用综合法分析；3放缩r