高二数学竞赛试题
一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，满分24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数zi，z是z的共轭复数，则zz的值是3i
A．14
B．12
C．2
D．4
2．已知向量a


x

23
x

与向量
b
32x的夹角为钝角，则实数x
的取值范围是
A．


12

2

B．



12

2
C．


12

0

02
D．02
3已知函数fx2xsi
2xcos2x，则下列不等式中恒成立的是
A．
f

32


f
1
f


4

B．
f
1
f


4


f

32
C．
f


4


f

32


f
1
D．
f


4


f
1
f
32
4若实数xy满足9x9y23x3y，则t3x3y的取值范围是
A．0t2
B．2t4
C．0t4
D．t4
二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，满分36分．
5已知
N，a
357


2

1
，则数列

1a


的前



项和S



6．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上
的点数是5”为事件B，则事件A、B中至多有一件发生的概率是

7函数fxx1的最大值是

2x3
fx1
8
设不等式组

x

2
y

3

0
所表示的平面区域为
1
，平面区域

2
与
1
关于直线
yx
2xy40对称，对于1中的任意一点A与2中的任意一点B，AB的最小值等
于

9已知ABC是表面积为64的球面上三点，AB2ACB30，O为球心，则直
线OA与平面ABC所成角的余弦值是

10．若将函数fxx4表示为fxa0a11xa21x2a31x3a41x4
其中a0a1a2a3a4为实数，则a3的值为

三、解答题：本大题共5小题，满分90分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
11．（本小题满分15分）
已知函数fxsi
2xacos2xaR，a为常数，且是函数yfx的零点
6（1）求a的值；
（2）若
x

12
2

，求
f
x的最大值和最小值
12．（本小题满分15分）
已知直三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC是正三角形，D是AC的中r