2016年清华大学自主招生暨领军计划试题
1已知函数fxx2aex有最小值，则函数gxx22xa的零点个数为（）
A0
B1
C2
D取决于a的值
答案：注意fxexgx，答案C
2已知ABC的三个内角ABC所对的边为abc下列条件中，能使得ABC的形状唯
一确定的有（）
Aa1b2cZ
BA1500asi
Acsi
C2asi
Cbsi
B
CcosAsi
BcosCcosBCcosBsi
C0C600
Da3b1A600
答案：对于选项A，由于abcab，于是c有唯一取值2，符合题意；
对于选项B，由正弦定理，有a2c22acb2，可得cosB2B1350，无解；2
对于选项C，条件即cosAsi
BC0，于是ABC900300600600600600，
不符合题意；
对于选项D，由正弦定理，有si
B1，又A600，于是B300C900，符合题意2
答案：AD
3已知函数fxx21gxl
x，下列说法中正确的有（）
Afxgx在点10处有公切线
B存在fx的某条切线与gx的某条切线平行
Cfxgx有且只有一个交点
Dfxgx有且只有两个交点
答案：注意到yx1为函数gx在10处的切线，
如图，因此答案BD
4过抛物线y24x的焦点F作直线交抛物线于AB两点，M为线段AB的中点下列说
法中正确的有（）
1
fA以线段AB为直径的圆与直线x3一定相离2
BAB的最小值为4
CAB的最小值为2
D以线段BM为直径的圆与y轴一定相切
答案：对于选项A，点M到准线x1的距离为
1AFBF1AB，于是以线段AB为直径的圆与直线x1一定相切，进而与
2
2
直线x3一定相离；2
对于选项
BC，设
A4a
2
4a
，则
B
14a
2

1，于是a
AB
4a2

14a2

2，最小值为
4
也可将AB转化为AB中点到准线的距离的2倍去得到最小值；
对于选项D，显然BD中点的横坐标与1BM不一定相等，因此命题错误2
答案：AB
5
已知
F1
F2
是椭圆
C

x2a2

y2b2
1ab0的左、右焦点，P是椭圆C上一点下列说
法中正确的有（）
Aa2b时，满足F1PF2900的点P有两个
Ba2b时，满足F1PF2900的点P有四个
CPF1F2的周长小于4a
D
PF1F2
的面积小于等于
a22
答案：对于选项AB，椭圆中使得F1PF2最大的点P位于短轴的两个端点；
对于选项C，F1PF2的周长为2a2c4a；
对于选项
D，F1PF2的面积为
12

PF1

PF2

si

F1PF2

12

PF1

2
PF2
2

12
a2
答案：ABCD6甲、乙、丙、丁四个人参加比赛，有两花获奖比赛结果揭晓之前，四个人作了如下猜测：甲：两名获奖者在乙、丙、丁中；乙：我没有获奖，丙获奖了；
2
f丙：甲、r